[論文レビュー] A Geometric Hamilton-Jacobi Theory for Classical Field Theories

Manuel de León, J.C. Marrero+1 more|ArXiv.org|Jan 8, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、多重シンプレクティック幾何学とエレスマン接続を用いて、古典場理論における幾何学的ハミルトン＝ヤコビ理論を展開する。ジェット bundle 上の閉じた断面がハミルトン＝ヤコビ方程式を満たすための必要十分条件として、ハミルトニアンの断面に沿った引き戻しの閉じることを示すことで、古典的力学の枠組みをジェット bundle 上の幾何構造と多重シンプレクティック形式を用いて場理論へ一般化する。

ABSTRACT

In this paper we extend the geometric formalism of the Hamilton-Jacobi theory for hamiltonian mechanics to the case of classical field theories in the framework of multisymplectic geometry and Ehresmann connections.

研究の動機と目的

• 古典的力学における幾何学的ハミルトン＝ヤコビ理論を、厳密な幾何学的枠組みの中で古典場理論へ拡張すること。
• これまでの試みにもかかわらず、場理論におけるハミルトン＝ヤコビ方程式の統一的幾何的定式化の欠如に取り組むこと。
• 場方程式の解と、一般化されたハミルトン＝ヤコビ条件を満たすジェット bundle の断面との間の対応を確立すること。
• 閉じた1次形式と平坦接続を用いて、多重シンプレクティック形式とハミルトン＝ヤコビアプローチを統合すること。
• 断面が正確である場合に、標準的な場理論的ハミルトン＝ヤコビ方程式が特別な場合として回復されることを示すこと。

提案手法

• 最初のジェット bundle $J^1\tilde{\tau}^*$ 上で、自然な多重シンプレクティック形式 $\Omega = -d\Theta$ を用いて、古典場理論を多重シンプレクティック幾何学的に形式化する。
• 動的および場方程式を記述するために、射影 $\pi_1: J^1\tilde{\tau}^* \to M$ 上のエレスマン接続を導入する。
• ハミルトニアン断面 $h$ を定義し、誘導された接続 $\tilde{\mathbf{h}}$ を用いて、場方程式の解と積分断面との関係を確立する。
• 閉じた1次形式 $\lambda$ に対して $d(H \circ \lambda) = 0$ である条件を適用し、古典定理の一般化を実現する。
• 断面 $\lambda$ を通じたハミルトニアンの引き戻しを用いて、$S^\mu$ と $H$ を用いて場理論的ハミルトン＝ヤコビ方程式を導出する。
• $\lambda$-関連するベクトル場と $h \circ \mu \circ \lambda$ の閉じることの等価性を確立し、可積分性の幾何的基準を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、幾何的構造を用いて古典的ハミルトン＝ヤコビ理論を古典場理論へ一般化できるか？
• RQ2 多重シンプレクティック幾何学とエレスマン接続は、場理論のハミルトン＝ヤコビ方程式の定式化において果たす役割は何か？
• RQ3 どのような幾何的条件下で、ジェット bundle の断面 $\lambda$ が場方程式の解を生成するか？
• RQ4 多重シンプレクティック設定において、$d(H \circ \lambda) = 0$ の条件は、場方程式の可積分性とどのように関係するか？
• RQ5 標準的な場理論的ハミルトン＝ヤコビ方程式は、この幾何的定式化の特別な場合として回復可能か？

主な発見

• 本稿は、幾何学的同等性を確立する：構成 bundle 上の閉じた1次形式 $\lambda$ がハミルトン＝ヤコビ条件を満たすための必要十分条件は、$d(H \circ \lambda) = 0$ であることである。これは古典的定理を一般化する。
• 場方程式は、誘導された接続 $\tilde{\mathbf{h}}$ の積分断面 $\sigma$ の存在と同等であることが示され、これはハミルトン＝ヤコビ方程式の解に対応する。
• 断面 $\lambda = dS$ で、$1$-半基本的 $(n-1)$-形式 $S = S^\mu d^{n-1}x^\mu$ である場合、ハミルトン＝ヤコビ方程式は $\frac{\partial S^\mu}{\partial x^\mu} + \tilde{H}(x^\nu, y^i, \frac{\partial S^\mu}{\partial y^i}) = 0$ の形を取り、標準的な場理論的形態を回復する。
• 時間に依存する力学的ケースは $M = \mathbb{R}$ の特別な場合として回復され、コシンプレクティック幾何学における既知の結果と整合性を示す。
• $\lambda$-関連するベクトル場と $h \circ \mu \circ \lambda$ の閉じることの等価性が証明され、解の存在に対する幾何的基準が提供される。
• 本稿は、標準的な場理論的ハミルトン＝ヤコビ方程式が、多重シンプレクティックジェット bundle の幾何的構造と閉じた断面から自然に導かれることが示されている。