[論文レビュー] A global stochastic maximum principle for fully coupled forward-backward stochastic systems

Mingshang Hu, Shaolin Ji+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Climate Change Policy and Economics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非凸な制御領域を有する完全に結合された前向き・後向き確率的制御系に対して、新たな分解法を用いた二次の後向き確率微分方程式（BSDE）を共役方程式として導入することにより、グローバルな確率的最大原理を確立する。この手法により、一次のテイラー展開項の間の隠れた関係が明らかになり、従来の方法では拡散係数が制御に依存する場合に限界があった、完全な最大原理の導出が可能になる。

ABSTRACT

We study a stochastic optimal control problem for fully coupled forward-backward stochastic control systems with a nonempty control domain. For our problem, the first-order and second-order variational equations are fully coupled linear FBSDEs. Inspired by Hu (Hu, Probability, Uncertainty and Quantitative Risk, 2(1) (2017):pp 1-20), we develop a new decoupling approach by introducing an adjoint equation which is a quadratic BSDE. By revealing the relations among the terms of the first-order Taylor's expansions, we estimate the orders of them and derive a global stochastic maximum principle which includes a completely new term. Applications to stochastic linear quadratic control problems are investigated.

研究の動機と目的

• 非凸な制御領域を有する確率的再帰的最適制御におけるグローバル最大原理を導出するという未解決問題に取り組む。
• 拡散項が制御に依存する確率的システムにおいて、古典的な一次展開法が失敗する問題を克服する。
• 変分方程式から生じる完全に結合された線形FBSDEsのための新しい分解技術を開発する。
• エケランド変分原理に基づく手法に見られる未知パラメータを排除する。
• 従来の局所的または古典的定式化に存在しない、新たな項を含む完全なグローバル最大原理を確立する。

提案手法

• FBSDE系の一次変分方程式に基づき、二次のBSDEである共役方程式を導入する。
• 状態および共役過程の一次テイラー展開における項の間の隠れた関係を明らかにし、それを活用する。
• 新しい分解を用いて、Z(t)の変動をp(t)、δσ(t)、およびX₁(t)の関数として表現することで、完全に結合された線形FBSDEsを分解する。
• 分解された系に伊藤の公式を適用し、最適性条件を導出し、解構造を検証する。
• エケランド変分原理を基礎としつつ、新たな共役構造により未知パラメータを排除する。
• γ₂(·)の小さな条件および係数の可積分性仮定の下で、共役過程(p(·), q(·))の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御領域が非凸であり、かつ拡散係数が制御に依存する場合に、完全に結合された前向き・後向き確率的制御系に対してグローバルな確率的最大原理を導出できるか。
• RQ2 変分方程式における一次テイラー展開項の役割は何か。また、それらの相互依存性をどのように活用して分解を達成できるか。
• RQ3 エケランド変分原理に基づく手法における未知パラメータをどのように排除し、閉形式の最大原理を得られるか。
• RQ4 この完全に結合された設定における共役方程式の構造は何か。また、古典的な線形共役BSDEとはどのように異なるか。
• RQ5 共役FBSDEの解が一意となる条件は何か。これにより最大原理の有効性が保証されるか。

主な発見

• 従来の古典的および局所的最大原理を超える、以前に考慮されていなかった項を含む、新たなグローバルな確率的最大原理が導出された。
• 一次変分方程式は完全に結合された線形FBSDEであるが、Y₁(t)、Z₁(t)、および共役過程(p(t), q(t))の間の関係により分解が可能である。
• 共役方程式は二次のBSDEである。これにより、スパイク変動や未知パラメータを含むエケランドの原理に依存せずに最大原理を導出可能である。
• γ₂(·)の小さな条件および可積分性仮定の下で、共役過程(p(·), q(·))の一意性が証明され、最大原理の整合性が保証された。
• 二次展開におけるZ(·)の正則性／可積分性が不十分であるという技術的障害を効果的に克服し、先行研究における主要な困難を解決した。
• 線形・二次の確率的制御問題への応用が示され、本原理の実用的関連性および有効性が確認された。