[論文レビュー] A Gluing Theorem for Special Lagrangian Submanifolds

Sema Salur|ArXiv.org|Aug 28, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特異的ラグランジュ部分多様体のグリューリング定理を、$z_1\overline{z_2} = 0$ 型の余次元2の自己交差をもつカルラヤウ3-多様体において確立する。近似解を連結和 $L_1 \# L_2$ を用いて構成し、重み付きソボレフ推定と陰関数定理を適用することで、近くの滑らかな特異的ラグランジュ部分多様体の存在を証明し、特異的部分多様体がモジュライ空間における極限点であることを示している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to prove a gluing theorem for a given special Lagrangian submanifold of a Calabi-Yau 3-fold. The proof will be an adaption of the gluing techniques in J-holomorphic curve theory. It is a well known procedure in geometric analysis to construct new solutions to a given nonlinear partial differential equation by gluing known solutions. First an approximate solution is constructed and then using analytic methods it is perturbed to a real solution. In this paper the gluing theorem will be used for smoothing a singularity of a special Lagrangian submanifold. In particular, we will show that given a special Lagrangian submanifold L of a Calabi-Yau manifold X with a particular codimension-two self intersection K it can be approximated by a sequence of smooth special Lagrangian submanifolds and therefore L is a limit point in the moduli space.

研究の動機と目的

• カルラヤウ3-多様体における特異的ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間における特異点の構造を理解すること。
• 特異的ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間におけるコンパクト化の欠如に対処すること。
• 余次元2の自己交差をもつ特異的ものに近い滑らかな特異的ラグランジュ部分多様体を構成すること。
• このような特異的部分多様体がモジュライ空間における極限点であることを確立すること。

提案手法

• 特異的集合 $K$ のチューブ近傍内で連結和グリューリング構成を用いて、近似特異的ラグランジュ部分多様体 $H_\delta = L_1 \#_\delta L_2$ を構成する。
• 重み付きソボレフノルム $L^{2}_{k,\delta}$ を用いてグリューリング領域付近での挙動を制御し、一様推定を得る。
• 近似解 $H_\delta$ が特異的ラグランジュでない度合いを測る非線形作用素 $\mathcal{F}$ を定義し、$\mathcal{F}(\exp_{H_\delta}(h)) = 0$ を解くために陰関数定理を適用する。
• 重み付き $L^2$-推定と楕円的正則性を用いて、線形化作用素 $D_{H_\delta}$ の一様右逆元推定を確立する。
• $L^2_{4,\delta}$ の小さな球内で収縮写像原理を適用し、固定点方程式 $h + \mathcal{O}_\delta(h) = \gamma$ を解く（ここで $\gamma$ は誤差項）。
• 補題4.8の固有値推定と非線形推定 $||\mathcal{O}(f) - \mathcal{O}(g)||_{L^2_{2,\delta}} \leq C(||f||_{L^2_{4,\delta}} + ||g||_{L^2_{4,\delta}})||f - g||_{L^2_{4,\delta}}$ を用いて収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余次元2の自己交差 $z_1\overline{z_2} = 0$ をもつ特異的ラグランジュ部分多様体は、グリューリング構成によって滑らかにできるか？
• RQ2 このような特異的部分多様体は、滑らかな特異的ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間における極限点か？
• RQ3 J-正則曲線理論で用いられるグリューリング法は、特異的ラグランジュを滑らかにすることに適応可能か？
• RQ4 グリューリング領域付近での特異的ラグランジュ方程式の解の存在を保証するために必要な一様推定は何か？

主な発見

• 自己交差 $z_1\overline{z_2} = 0$ をもつ特異的ラグランジュ部分多様体 $L$ は、滑らかな特異的ラグランジュ部分多様体の列によって近似可能である。
• グリューリング構成により、重み付き $L^2_{2,\delta}$-ノルムにおいて特異的ラグランジュに近く、滑らかな近似解 $H_\delta = L_1 \#_\delta L_2$ が得られる。
• 方程式 $h + \mathcal{O}_\delta(h) = \gamma$ に対して、$L^2_{4,\delta}$ 内に一意の小さな解 $h$ が存在し、$H_\delta$ の近くに真の特異的ラグランジュ部分多様体の存在が保証される。
• 解は、グリューリングパラメータ $\delta$ に依存しない一様境界 $||h||_{L^2_{2,\delta}} \leq 2||\gamma||_{L^2_{2,\delta}}$ を満たす。
• 線形化作用素 $D_{H_\delta}$ は重み付きソボレフ空間内で一様有界な右逆元をもつため、陰関数定理の適用が可能である。
• $L_1$ と $L_2$ の $K$ 上での正規バンドルのオイラー類が互いに逆符号を持つという条件を満たせば、グリューリングのための位相的整合性が保証される。