[論文レビュー] The moduli space of special Lagrangian submanifolds

Nigel Hitchin|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 1997

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau多様体内の特殊ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間が、$ H^1(L,\bbR) \times H^{n-1}(L,\bbR) $ の積空間内に自然にラグランジュ部分多様体の構造を備えていることを確立する。この構造はMcLean理論から誘導される自然なリーマン計量を伴う。さらに、このモジュライ空間は自然な複素構造とケーラー計量を備え、埋め込みが特別な場合、計量はカルビ・ヤウ計量となり、レジェンドル双対性を通じて鏡像対称性と結びつく。

ABSTRACT

This paper considers the natural geometric structure on the moduli space of deformations of a compact special Lagrangian submanifold $L^n$ of a Calabi-Yau manifold. From the work of McLean this is a smooth manifold with a natural $L^2$ metric. It is shown that the metric is induced from a local Lagrangian immersion into the product of cohomology groups $H^1(L) imes H^{n-1}(L)$. Using this approach, an interpretation of the mirror symmetry discussed by Strominger, Yau and Zaslow is given in terms of the classical Legendre transform.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体内の特殊ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間に自然に備わる幾何的構造を特定すること。
• McLeanの変形理論を用いて、調和1次形式上の$ L^2 $内積から誘導される自然なリーマン計量が、モジュライ空間に引き継がれることを示すこと。
• このモジュライ空間が、双対なコホモロジー群の積 $ H^1(L,\bbR) \times H^{n-1}(L,\bbR) $ 内に自然にラグランジュ部分多様体として埋め込まれることを示すこと。
• この埋め込みが特別な場合、モジュライ空間にカルビ・ヤウ計量が誘導され、鏡像対称性と結びつくことの確立。
• モジュライ空間が関数の微分のグラフとして局所的に記述可能であり、ストロミンジャー＝ヤウ＝ザスロウの鏡像対称性の提唱におけるレジェンドル変換対称性を実現すること。

提案手法

• McLeanの変形理論を用いて、モジュライ空間の接空間を特殊ラグランジュ部分多様体上の調和1次形式の空間と同一視する。
• 双対なベクトル空間である $ H^1(L,\bbR) \times H^{n-1}(L,\bbR) $ への局所モジュライ空間の自然な埋め込みを構成し、これによりシンプレクティック構造を備える。
• McLeanの $ L^2 $-内積から誘導される計量が、このラグランジュ部分多様体上の自然なリーマン計量に対応することを示す。
• レジェンドル変換を適用して、モジュライ空間と双対記述との関係を確立し、この対称性を鏡像対称性の現れと解釈する。
• 実数値関数 $ \rho $ から導かれるケーラー潜在関数を用いて、モジュライ空間にケーラー計量を引き戻すことで、ケーラー計量を構成する。
• 複素化されたモジュライ空間上の正則 $ m $-形式の長さが定数であることは、特殊ラグランジュトーラスの体積が一定であることと同値であり、計量がカルビ・ヤウ計量であることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体内の特殊ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間に自然に備わる幾何的構造は何か？
• RQ2 McLeanの調和1次形式上の $ L^2 $-計量は、モジュライ空間の内在的幾何にどのように関係するか？
• RQ3 モジュライ空間は、自然にシンプレクティックベクトル空間内のラグランジュ部分多様体として埋め込めるか？ もしそうなら、どの空間に埋め込まれるか？
• RQ4 モジュライ空間に誘導される計量がカルビ・ヤウ計量であるための条件は何か？
• RQ5 モジュライ空間とその双対記述との間のレジェンドル双対性は、ストロミンジャー＝ヤウ＝ザスロウの鏡像対称性の提唱をどのように反映するか？

主な発見

• 特殊ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間は、双対コホモロジー群の積 $ H^1(L,\bbR) \times H^{n-1}(L,\bbR) $ 内に自然にラグランジュ部分多様体として埋め込まれる。
• 調和1次形式上のMcLeanの $ L^2 $-計量は、このラグランジュ部分多様体上の自然な誘導リーマン計量として実現される。
• モジュライ空間は自然な複素構造とケーラー計量を備え、ケーラー潜在関数は $ \rho/2 $ で与えられる。ここで $ \rho $ はモジュライ空間上の実数値関数である。
• 複素化されたモジュライ空間上の正則 $ m $-形式の長さが定数であることは、特殊ラグランジュトーラスの体積が一定であることと同値である。
• 埋め込みが特別な場合、モジュライ空間上のケーラー計量はカルビ・ヤウ計量である。これは、共変的に定数な正則 $ m $-形式が存在することを意味する。
• レジェンドル変換によるモジュライ空間とその双対記述との間の対称性は、特殊ラグランジュフィブレーションの文脈における鏡像対称性の幾何的実現を提供する。