[論文レビュー] A Godel Modal Logic

Xavier Caicedo, Ricardo Óscar Rodríguez|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、[0,1]-値の世界とアクセス関係を用いた、ゲーデル主義の多値Kripke意味論を導入し、$\boxdot$-断片および$\bigcirc$-断片について強く完全な公理的体系を提供する。主な貢献は、$\boxdot$-断片がクリップ（二値）のアクセス関係によって特徴づけられるのに対し、$\bigcirc$-断片は完全に曇ったフレームを必要とすることを示したことである。また、非対称な有限モデル性質およびT、S4、S5の類似モーダル体系についての完全性結果も得られている。

ABSTRACT

In this paper we consider an approach where both propositions and the accessibility relation are infinitely many-valued over Gödel algebras. In particular, we consider separately the $\Box $-fragment and the $\Diamond $-fragment of our Gödel modal logic and prove that both logics are complete with respect to the class of models with values in the linear Hetying algebra [0,1]. In addition, we show that the first fragment is uniquely determined by the class of models having crisp accessibility relation but it has not the finite model property. On the contrary, the second fragment is not characterized by crisp accessibility models alone but it has the finite model property. Finally, we show that the approach can be extended to include finitely many rational truth-values à la Pavelka.

研究の動機と目的

• ゲーデル論理に基づくモーダル論理の多値Kripke意味論を構築すること。ここで、真理値とアクセス関係の両方が[0,1]に属するものとする。
• $\boxdot$-断片および$\bigcirc$-断片の結果する論理について、強く完全な公理的体系を提供すること。
• $\boxdot$断片と$\bigcirc$断片の間でのフレーム要件および有限モデル性質の違いを調査すること。
• 多くの値のフレーム条件を用いて、古典的モーダル体系T、S4、S5のゲーデル的類似物を特徴づけること。
• 真理定数の追加を含む言語へと結果を拡張し、定数集合の位相的離散性および整列順序の下で強完全性を保証すること。

提案手法

• Gödel-Kripkeモデルを三つ組$\langle W, S, e \rangle$として定義する。ここで$W$は世界の集合、$S: W \times W \to [0,1]$は曇ったアクセス関係、$e: W \times \text{Var} \to [0,1]$は曇った評価関数である。
• ゲーデル演算を用いて真理値の帰納的拡張を行う：$a \cdot b = \min(a,b)$、$a \Rightarrow b = 1$（$a \leq b$のとき）、さもなくば$b$。$\Box\varphi$および$\Diamond\varphi$は、アクセス可能な世界における下界および上界を用いて定義する。
• 正規モデルを用いて$\boxdot$-断片について強完全性を証明し、それがクリップ（二値）のアクセス関係を持つフレームによって特徴づけられることを示す。
• 別の正規構成法を用いて$\bigcirc$-断片について強完全性を証明し、それが真に曇ったアクセス関係を必要とすることを示す。
• $\boxdot$-断片は、世界数または真理値数に関して有限モデル性質を欠いているのに対し、$\bigcirc$-断片はそれを満たすことを確立する。
• フレームワークに集合$Q \subseteq [0,1]$の真理定数を追加し、R1–R7の補足公理を追加することで、$Q$の離散性および整列順序の下で妥当性および強完全性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲーデル論理を用いて、多値設定下で曇りとモーダル性の両方を扱うモーダル論理をどのように拡張できるか？
• RQ2 $\boxdot$-断片と$\bigcirc$-断片が、フレーム要件および有限モデル性質において非対称な振る舞いを示すのはなぜか？
• RQ3 T、S4、S5のゲーデル的類似物は、多値フレーム条件を用いて特徴づけられるか？
• RQ4 [0,1]-値のアクセス関係を有する多値Kripke意味論の下で、$\boxdot$-および$\bigcirc$-断片について強完全性が達成可能か？
• RQ5 真理定数の集合$Q \subseteq [0,1]$にどのような条件を課すと、追加されたモーダル言語において強完全性が保証されるか？

主な発見

• $\boxdot$-断片はクリップ（二値）のアクセス関係を持つフレームによって特徴づけられるが、$\bigcirc$-断片は真に曇ったアクセス関係を必要とする。
• $\boxdot$-断片は、世界数または真理値数に関して有限モデル性質を欠いているが、$\bigcirc$-断片はそれを満たす。
• T、S4、S5のゲーデル的類似物は、すべてのモーダル演算子について、古典的フレーム条件（反射性、推移性、対称性）の多値版によって特徴づけられる。
• 公理$\rhd_{\boxdot}$および$\rhd_{\bigcirc}$は、正規モデルにおいて対称性を捉えるのに不十分であり、対称なフレームを公理化するにはより強い公理が必要であることを示唆している。
• 位相的に離散的かつ整列順序である真理定数の集合$Q \subseteq [0,1]$を追加することで、拡張された論理$\mathcal{G}_{\boxdot}(Q)$および$\mathcal{G}_{\bigcirc}(Q)$の強完全性が保証される。補足公理により妥当性および完全性が保証される。
• 両方の$\boxdot$および$\bigcirc$演算子を含む完全な論理は、二つの断片の和集合では捉えられないが、Fischer-Serviの接続公理を追加することで、強完全性を達成する。