[論文レビュー] A Groupoid Approach to Discrete Inverse Semigroup Algebras

Benjamin Steinberg|ArXiv.org|Mar 20, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、Gelfand双対性の代わりにStone双対性を用いることで、離散的逆半群 $S$ の代数 $KS$ と、エタールでアーマーな群コア $\mathscr{G}(S)$ の畳み込み代数との間の同型を確立する。主な貢献は、逆半群の有限次元非可約表現を、同型群からの誘導表現として完全にパラメータ化することであり、Munnの結果を一般化し、$KS$ の中心と構造を理解するための位相的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let $K$ be a commutative ring with unit and $S$ an inverse semigroup. We show that the semigroup algebra $KS$ can be described as a convolution algebra of functions on the universal étale groupoid associated to $S$ by Paterson. This result is a simultaneous generalization of the author's earlier work on finite inverse semigroups and Paterson's theorem for the universal $C^*$-algebra. It provides a convenient topological framework for understanding the structure of $KS$, including the center and when it has a unit. In this theory, the role of Gelfand duality is replaced by Stone duality. Using this approach we are able to construct the finite dimensional irreducible representations of an inverse semigroup over an arbitrary field as induced representations from associated groups, generalizing the well-studied case of an inverse semigroup with finitely many idempotents. More generally, we describe the irreducible representations of an inverse semigroup $S$ that can be induced from associated groups as precisely those satisfying a certain "finiteness condition". This "finiteness condition" is satisfied, for instance, by all representations of an inverse semigroup whose image contains a primitive idempotent.

研究の動機と目的

• 逆半群代数の位相的枠組みを、$C^*$-代数と有限半群からの結果を一般化するための群コアを用いて動機づける。
• 有限な冪等元の場合を除く $KS$-加群の一般的な記述の欠如に対処するため、普遍群コア構成を導入する。
• 任意の体上の逆半群の非可約表現を、同型群からの誘導によって統一的に扱う。
• 中心 $KS$ の構造を位相的・代数的道具を用いて特徴付け、$KS$ が単位元を持つ条件を特定する。
• 表現の有限性条件を用いて、Munnの非可約表現理論を無限逆半群へと拡張する。

提案手法

• 本稿では、冪等元のストーン空間上のスペクトル作用の芽の群コアとして、逆半群 $S$ に付随する普遍エタール群コア $\mathscr{G}(S)$ を構成する。
• Stone双対性を用い、$KS$ を $K\mathscr{G}(S)$ として、$K$ における離散位相に関してコンパクト台付きかつ連続な関数として記述する。
• 同型群 $G_x$ に対する $K\mathscr{G}$-加群と $KG_x$-加群の間の誘導および制限函手を定義し、非可約加群の構成を可能にする。
• Patersonの $C^*$-代数の証明で用いられる補助的半群を避けるために、Möbiusの反転のテクニックを用いて、同型 $KS \cong K\mathscr{G}(S)$ を証明する。
• 有限性条件を満たす単純な $K\mathscr{G}$-加群は、すべて同型群からの誘導表現として得られ、Munnの結果を一般化する。
• 単純な $KS$-加群にスペクトルベクトルが存在する場合と、軌道の代表元であるキャラクター $\varphi$ と単純な $KG_\varphi$-加群 $W$ のペア $(\varphi, W)$ の間の明示的な全単射を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的逆半群の代数 $KS$ は、位相的群コア上の畳み込み代数としてどのように記述できるか？
• RQ2 Stone双対性は、$KS$-加群を記述する際、Gelfand双対性をどのように置き換えるか？
• RQ3 どの非可約表現が、関連する群からの誘導表現として実現可能か？
• RQ4 単純な $KS$-加群がスペクトル的（唯一の冪等元によって固定される非ゼロベクトルをもつ）であるための条件は何か？
• RQ5 中心 $KS$ の構造は、普遍群コア $\mathscr{G}(S)$ の位相とどのように関係するか？

主な発見

• 逆半群 $S$ の代数 $KS$ は、その普遍エタール群コア $\mathscr{G}(S)$ の畳み込み代数 $K\mathscr{G}(S)$ と同型であり、$KS$ の位相的実現を提供する。
• 体上の有限次元非可約 $KS$-加群は、すべて $\mathscr{G}(S)$ の同型群からの誘導表現として得られ、Munnの理論を一般化する。
• 有限性条件を満たす単純な $KS$-加群は、スペクトル作用の軌道と同型群上の単純加群によってパラメータ化される。
• 普遍群コア $\mathscr{G}(S)$ がハウスドルフであることは、$S$ の主な下集合の共通部分集合が下セットとして有限生成であることと同値であり、Patersonの結果の逆を与える。
• $S$ が中心的な冪等元を持つ場合、または $E(S)$ が $(\mathbb{N}, \geq)$ に同型である場合、すべての単純な $KS$-加群はスペクトル的であり、このような加群の完全な分類が可能になる。
• 系6.37では、単純な $KS$-加群とペア $(e, V)$ の間の全単射を確立する。ここで $e$ は $\mathscr{D}$-類の代表元であり、$V$ は単純な $KG_e$-加群である。有限次元性は $\mathscr{D}$-類と $V$ の有限性によって決定される。