[論文レビュー] A Height Gap Theorem For Finite Subsets Of GL_d(\bar{Q}) and Non Amenable Subgroups

Emmanuel Breuillard|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$GL_d(\overline{\mathbb{Q}})$ の有限部分集合 $F$ に対して、共役不変な正規化された高さ関数 $\widehat{h}(F)$ を導入し、非可解部分群を生成する場合に一様な高さギャップ $\widehat{h}(F) > \varepsilon(d) > 0$ が成り立つことを証明する。この結果は、線型群へのレーマー予想の一般化であり、マーガリスの補題のグローバル・アデール的類似を与え、一様なバーンサイド＝シュールの定理や強いティーツの代替定理への応用をもたらす。

ABSTRACT

We show a global adelic analog of the classical Margulis Lemma from hyperbolic geometry. We introduce a conjugation invariant normalized height $\hat{h}(F)$ of a finite set of matrices $F$ in $GL_{n}(\bar{\Bbb{Q}})$ which is the adelic analog of the minimal displacement on a symmetric space. We then show, making use of theorems of Bilu and Zhang on the equidistribution of Galois orbits of small points, that $\hat{h}(F)>ε$ as soon as $F$ generates a non-virtually solvable subgroup of $SL_{n}(\bar{\Bbb{Q}}),$ where $ε=ε(n)>0$ is an absolute constant.

研究の動機と目的

• 有限部分集合 $F \subset GL_d(\overline{\mathbb{Q}})$ に対して、すべての場所における $F^n$ の漸近的スペクトル成長を捉える共役不変な正規化高さ $\widehat{h}(F)$ を定義し、その性質を調べること。
• $F$ が非可解部分群を生成する場合に一様な下界 $\widehat{h}(F) > \varepsilon(d) > 0$ が成り立つことを確立し、線型群へのレーマー問題の拡張を行うこと。
• 高さギャップを、行列半群の幾何学的・算術的挙動と結びつけることによって、マーガリスの補題のグローバル・アデール的類似を提供すること。
• 高さギャップを用いて、捩れ線型群に関するバーンサイド＝シュールの定理の一様版を証明すること。
• 今後の中での強い一様ティーツの代替定理のための基盤を築くこと。

提案手法

• $\widehat{h}(F) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} h(F^n)$ を定義する。ここで $h(F)$ は、数体のすべての場所における局所的作用素ノルムの和で定まるグローバル算術的高さである。
• スペクトル半径の公式を用いて、$F$ が単一元集合の場合に $\widehat{h}(F)$ を固有値のワイエル高さと関連づけ、古典的ディオファントス幾何学と結びつける。
• 局所体上のチェバリの群における局所的推定を用いて、各場所 $v$ における $||F^n||_v$ の成長を制御し、$p$-進およびアーチメデス的ノルムの構造を応用する。
• ノースコット性質を用いて、有界な $\widehat{h}(F)$ と有界な次数が、半単純性の仮定の下で有限個の同型類に帰着することを示す。
• $p$-進体におけるブリュア＝ティーツのビルディングへの作用と固定点性質を用いて、$F$-軌道の非定常性を分析し、$\widehat{h}(F)$ の下界を得る。
• ケイリー＝ハミルトンの定理と表現論を用いて、問題を $\overline{\mathbb{Q}}$ 上の忠実な表現に還元し、特に virtually solvable または unipotent な部分群の場合に有効にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可解部分群を生成する有限部分集合 $F \subset GL_d(\overline{\mathbb{Q}})$ に対して、正規化された高さ $\widehat{h}(F)$ に対して一様な下界を確立できるか。
• RQ2 正規化された高さ $\widehat{h}(F)$ は、$F$ のスペクトル的性質および生成する群のザリスキ閉包とどのように関係するか。
• RQ3 高さギャップ現象は、非アーベル線型群への古典的レーマー予想の一般化としてどの程度成立するか。
• RQ4 高さギャップを用いて、捩れ線型群に関するバーンサイド＝シュールの定理のような問題に対して一様な境界を導出できるか。
• RQ5 正規化された高さ $\widehat{h}(F)$ と、$p$-進体上のブリュア＝ティーツのビルディングにおける $F$ の幾何的作用の関係は何か。

主な発見

• 非可解部分群を生成する場合、$\widehat{h}(F) > \varepsilon(d)$ となる絶対定数 $\varepsilon(d) > 0$ が存在する。
• 正規化された高さ $\widehat{h}(F)$ は、$F$ が準ユニポテンツ部分群（つまり、群に属するすべての要素の固有値が単位根である）を生成する場合にかつその場合にのみ 0 に等しい。
• $\widehat{h}(F^n) = n \cdot \widehat{h}(F)$ を満たし、$GL_d(\overline{\mathbb{Q}})$ 内の共役に関して不変である。
• 任意の有限集合 $F$ は、$d$ にのみ依存する定数を用いて、標準的高さ $h(F)$ が $\widehat{h}(F)$ と比較可能になるように共役変換で移せる。
• 高さギャップは、バーンサイド＝シュールの定理の一様版を意味する：$GL_d(\overline{\mathbb{Q}})$ の任意の有限生成な捩れ部分群は有限であり、そのサイズの上限は $d$ のみに依存する。
• この結果は、マーガリスの補題のグローバル・アデール的類似を提供する。ここで高さギャップは、ブリュア＝ティーツのビルディングにおける非定常性の均一な下界に対応する。