[論文レビュー] A Hierarchy for Replica Quantum Advantage

Sitan Chen, Jordan Cotler+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、k個のリプリカで測定する場合とk+1個で測定する場合とで、量子状態の学習タスクの難易度が指数的に増加することを示す、量子学習タスクの階層を確立する。特に、増加する数の量子状態リプリカにわたるもつれ測定が指数的リソース削減を可能にすることを示している。主な結果として、任意のkに対して、k個のリプリカを同時に測定できる場合にΩ(2ⁿk)のコピーが必要となるn-qubit状態の性質が存在するが、その性質はpoly(k,n)個のリプリカで解けることにより、リプリカ数による明確な優位性の階層が証明される。

ABSTRACT

We prove that given the ability to make entangled measurements on at most $k$ replicas of an $n$-qubit state $ρ$ simultaneously, there is a property of $ρ$ which requires at least order $2^n$ measurements to learn. However, the same property only requires one measurement to learn if we can make an entangled measurement over a number of replicas polynomial in $k, n$. Because the above holds for each positive integer $k$, we obtain a hierarchy of tasks necessitating progressively more replicas to be performed efficiently. We introduce a powerful proof technique to establish our results, and also use this to provide new bounds for testing the mixedness of a quantum state.

研究の動機と目的

• エンタングルド測定に利用可能なリプリカ数に基づいた、量子優位性の形式的階層を確立すること。
• 各k ≥ 1に対して、k個のリプリカで解くのが指数的に難しいが、k+1個のリプリカで解ける具体的な量子学習タスクを同定すること。
• k個のリプリカを同時に測定できる制限下では指数的コピー数を要するが、多項式数のリプリカ（poly(k,n)）で十分に解けるタスクが存在することを示すこと。
• 非適応的および適応的測定プロトコル下での混合性テストにおけるコピー複雑度のタイトな下界を提供すること。

提案手法

• 著者らは、計算基底状態にランダムユニタリ回路を適用した状態を含む摂動状態と完全混合状態を区別する学習タスクの族を定義する。
• 摂動状態を構築するために、δ = 1/2ⁿを満たすδ-近似的2kデザインを形成するランダム量子回路を用い、難易度を保証する十分なランダム性を確保する。
• 仮説ごとの測定結果分布間のカイ二乗発散を評価するための新規証明技法を導入し、重要な確率変数φᵘ,ᵛのモーメントバウンドを活用する。
• 非適応的プロトコルでは、φᵘ,ᵛの尾確率バウンドを用い、Bubeckら（2020）の補題17を適用してカイ二乗発散とφᵘ,ᵛのモーメントを関連付ける。
• 適応的プロトコルでは、同時に最大k個のリプリカを測定するいかなる戦略でも、定数確率で状態を区別するためにはΩ(2ⁿk)のコピーが必要であることを示す。
• 非適応的プロトコルの最適な下界を導出するために、混合状態の積のカイ二乗発散を分析し、ピンスカーノ不等式を用いて発散と誤差確率を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各レベルがより多くのリプリカを要するような、量子優位性の階層が存在しうるか？
• RQ2 任意の正の整数kに対して、kリプリカで困難だがpoly(k,n)リプリカで解けるタスクが存在するか？
• RQ3 同時にk個のリプリカしか測定できない場合、量子状態の混合性をテストするために必要な最小コピー数は何か？
• RQ4 測定が非適応的制限を受ける場合、複数リプリカの利点は減少するか？
• RQ5 適応的および非適応的測定制約下での混合性テストのコピー複雑度をタイトに境界づけられるか？

主な発見

• ε = 1/(3k)に対して、RQCテストタスクはkリプリカハードである：1回の測定で最大k個のリプリカを使用するいかなるプロトコルでも、定数確率で成功するためには全体でΩ(2ⁿk)のコピーが必要である。
• 同じタスクはpoly(k,n)個のリプリカで解けるため、リプリカ数に依存する明確な量子優位性の階層が示された。
• 非適応的設定では、k ≪ log(d)/ε²の場合、1リプリカずつ測定するのが最適戦略であり、2つ以上のリプリカをもつれさせても漸近的利点はない。
• 非適応的混合性テストのコピー複雑度下界は、任意のη > 0に対してΩ(d^{3/2−η}/ε²)であり、これは単一リプリカ測定による既知の上界O(d^{3/2}/ε²)と一致する。
• 完全混合状態と摂動状態の下での結果分布間のカイ二乗発散は、確率変数φᵘ,ᵛのモーメント推定を用いてバウンドされ、タイトなコピー複雑度境界が可能になる。
• φᵘ,ᵛの尾確率とモーメント解析に基づくこの証明技法は、リプリカアクセスが制限された量子状態学習における下界を導出する一般フレームワークを提供する。