[論文レビュー] Quantum homeopathy works: Efficient unitary designs with a system-size independent number of non-Clifford gates

Jonas Haferkamp, Felipe Montealegre‐Mora+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、多項式時間のランダムな Clifford 回路に非アーベルゲートを挿入することにより、システムサイズに依存しない $O(t^{4}"log^{2}(t)"log(1/
))$ 個の非アーベルゲートのみを用いて、効率的な近似ユニタリ $t$-デザインを構築できることを示している。主な結果は、非アーベルゲートの密度が漸近的にゼロに近づくことができることであり、最小限のリソースオーバーヘッドでスケーラブルな高次 $t$-デザインの実装を可能にする。

ABSTRACT

Many quantum information protocols require the implementation of random unitaries. Because it takes exponential resources to produce Haar-random unitaries drawn from the full $n$-qubit group, one often resorts to $t$-designs. Unitary $t$-designs mimic the Haar-measure up to $t$-th moments. It is known that Clifford operations can implement at most $3$-designs. In this work, we quantify the non-Clifford resources required to break this barrier. We find that it suffices to inject $O(t^{4}\log^{2}(t)\log(1/\varepsilon))$ many non-Clifford gates into a polynomial-depth random Clifford circuit to obtain an $\varepsilon$-approximate $t$-design. Strikingly, the number of non-Clifford gates required is independent of the system size -- asymptotically, the density of non-Clifford gates is allowed to tend to zero. We also derive novel bounds on the convergence time of random Clifford circuits to the $t$-th moment of the uniform distribution on the Clifford group. Our proofs exploit a recently developed variant of Schur-Weyl duality for the Clifford group, as well as bounds on restricted spectral gaps of averaging operators.

研究の動機と目的

• アーベルゲートの制限を超えて近似 $t$-デザインを構築するための最小非アーベルゲート数を特定すること。
• 量子情報プロトコルにおける高次ユニタリ $t$-デザインの実装におけるスケーラビリティの課題を解決すること。
• 必要な非アーベルゲート数がシステムサイズに依存しないことを確立し、漸近的にスパarsなリソース使用を可能にすること。
• ランダムな Clifford 回路が Clifford 群分布の $t$ 階モーメントに収束するまでの時間のタイトな境界を導出すること。

提案手法

• Clifford 群に特化した最近開発されたシュール＝ワイエルシュトロム双対性の変種を用いて、モーメントマッチングの性質を分析する。
• 平均作用素の制限付きスペクトルギャップに関する境界を用いて、ランダムな Clifford 回路の収束速度を定量化する。
• 多項式時間の Clifford 回路に $O(t^{4}\log^{2}(t)\log(1\varepsilon))$ 個の非アーベルゲートを挿入する効果を分析する。
• このような構成が、システムサイズが増大しても $\varepsilon$-近似 $t$-デザインを生成することを証明する。
• 表現論的ツールを用いて、Clifford 回路が対称部分空間上で果たす作用を特徴付ける。
• 非アーベルゲートの数が qubit 数とは無関係に $t$ と $\varepsilon$ のみに依存して増加することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベルゲートの $3$-デザイン制限を超えて $\varepsilon$-近似 $t$-デザインを達成するために必要な最小非アーベルゲート数は何か？
• RQ2 高次 $t$-デザインを達成しつつ、非アーベルゲート数をシステムサイズに依存させないことは可能か？
• RQ3 ランダムな Clifford 回路は、Clifford 群上の一様分布の $t$ 階モーメントにどの程度の速さで収束するか？
• RQ4 平均作用素のスペクトルギャップは、Clifford 回路が $t$-デザインに収束する過程においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 シュール＝ワイエルシュトロム双対性をどのように Clifford 群に適応させ、量子回路におけるモーメントマッチングを分析できるか？

主な発見

• $\varepsilon$-近似 $t$-デザインを構築するために必要な非アーベルゲート数は、システムサイズに依存せず $O(t^{4}\log^{2}(t)\log(1/\varepsilon))$ である。
• これは、システムサイズが増大するに従い非アーベルゲートの密度が漸近的にゼロに近づくことができることを示しており、スケーラブルな実装を可能にする。
• ランダムな Clifford 回路が Clifford 群分布の $t$ 階モーメントに収束するまでの時間は、対応する平均作用素のスペクトルギャップによって上限が定められる。
• Clifford 群に特化した精密なシュール＝ワイエルシュトロム双対性の適用により、量子回路におけるモーメントマッチングの正確な特徴付けが可能になった。
• 完全なハールランダムネスがなくても、$t$ と $\varepsilon$ に対して多項式対数的オーバーヘッドで高次 $t$-デザインを達成している。
• 本研究の結果は、『量子フロイトピア』と呼ばれる新しいパラダイムを確立した。ここでは、最小限の非アーベルリソースが最大のデザイン性能をもたらす。