[論文レビュー] A high-order relaxation method with projective integration for solving nonlinear systems of hyperbolic conservation laws

Pauline Lafitte, Ward Melis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 47被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、多次元の非線形双曲型保存則に対して、プロジェクト型統合を用いてBGK型運動論方程式を解くことで、高次かつ完全に明示的なリラクゼーションスキームを提示する。この手法は、時間微分を推定するために小さな前進オイラー手順を用い、CFLに類似した安定性と剛性に依存しない安定性を実現する。これにより、リーマン解法に基づく手法の代替として、強固で汎用性の高い高次スキームが得られる。

ABSTRACT

We present a general, high-order, fully explicit relaxation scheme which can be applied to any system of nonlinear hyperbolic conservation laws in multiple dimensions. The scheme consists of two steps. In a first (relaxation) step, the nonlinear hyperbolic conservation law is approximated by a kinetic equation with stiff BGK source term. Then, this kinetic equation is integrated in time using a projective integration method. After taking a few small (inner) steps with a simple, explicit method (such as direct forward Euler) to damp out the stiff components of the solution, the time derivative is estimated and used in an (outer) Runge-Kutta method of arbitrary order. We show that, with an appropriate choice of inner step size, the time step restriction on the outer time step is similar to the CFL condition for the hyperbolic conservation law. Moreover, the number of inner time steps is also independent of the stiffness of the BGK source term. We discuss stability and consistency, and illustrate with numerical results (linear advection, Burgers' equation and the shallow water and Euler equations) in one and two spatial dimensions.

研究の動機と目的

• 多次元空間における非線形双曲型保存則の一般的で高次かつ完全に明示的な数値スキームの開発。
• 複雑で問題特有の再構成とフラックス計算を要する従来のリーマン解法に基づく手法の制限を克服すること。
• リラクゼーション法において分割法やIMEX技術の必要性を排除することにより、次数制限やロバストネスの問題を回避すること。
• 外側の積分器における時間刻みの制限を、剛性パラメータεに依存せずに、CFL条件と同等のものにすること。
• 内側のステップ数がεに依存しないように保証し、剛性領域全域での効率的な計算を可能にすること。

提案手法

• 元の双曲型保存則を、小さなリラクゼーションパラメータεを含む運動論的BGK方程式で近似する。
• BGK方程式の剛性成分を減衰させるために、少数の内側時間ステップに対して直接的な前進オイラー法を用いる。
• 内側ステップから得た時間微分を推定し、任意の次数の高次外側ルンゲ・クッタ法に用いる。
• 内側の明示的時間積分と、微分推定に基づく外側時間ステップの組み合わせとしてプロジェクト型統合を適用する。
• 運動論的定式化における空間再構築に、ENOや上流差分法などの高次空間離散化法を用いる。
• 外側時間刻みの制限が、元の双曲型系のCFL条件と一致するように、内側ステップサイズを設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リラクゼーションとプロジェクト型統合を用いて、非線形双曲型保存則に対して完全に明示的で高次の時間積分スキームを構築可能か？
• RQ2 提案手法は剛性パラメータεに依存せず、安定性と一貫性を維持できるか？
• RQ3 外側時間刻みサイズを、元の双曲型系のCFL条件に類似した制限で選べるか？
• RQ4 必要とされる内側ステップ数がεに依存せず、剛性領域でも効率的か？
• RQ5 線形移流、バーガース方程式、浅水域方程式、およびエーラー方程式を含む、さまざまなテスト問題において、この手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 適切な内側ステップサイズ選択のもとで、外側ルンゲ・クッタ法を用いることで、時間方向に任意の次数の精度が達成され、安定性と一貫性が保証される。
• 最適な内側ステップサイズを用いれば、外側時間刻みの制限は、元の双曲型保存則のCFL条件と同等になる。
• 内側ステップ数は剛性パラメータεに依存せず、すべての領域で効率的な計算が可能である。
• 1次元および2次元問題（線形移流、バーガース方程式、浅水域、エーラー方程式）における数値結果から、本手法のロバストネスと精度が確認された。
• 2次元のダムブレイク問題では、t = 1.5における水深がh ≈ 0.96に安定化し、既存のベンチマークと整合的である。
• 2次元のソードのショックチューブテストでは、3次精度ENO空間離散化とPRK4時間積分を用いて、ショック形成と膨張波を的確に捉えた。