[論文レビュー] A Hitchin-Kobayashi correspondence for Kaehler fibrations

Ignasi Mundet i Riera|ArXiv.org|Jan 19, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、ケーラー・ファイブレーションに対してヒチン＝コバヤシ対応を確立し、安定性条件—具体的には $c$-安定性—の下で方程式 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ の解が存在することを証明することで、非射影的ケーラー多様体へのケンプ・ネス理論の一般化を達成する。この対応は、幾何的不変量理論の安定性と、接続とヒッグス場を含むゲージ理論的方程式の解の存在を結びつける。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kaehler manifold and $E o X$ a principal $K$ bundle, where $K$ is a compact connected Lie group. Let ${\cal A}^{1,1}$ be the set of connections on $E$ whose curvature lies in $Ω^{1,1}(E imes_{Ad} {\frak k})$, where ${\frak k}$ is the Lie algebra of $K$. Endow $\frak k$ with a nondegenerate biinvariant bilinear pairing. This allows to identify $\{\frak k}\simeq{\frak k}^*$. Let $F$ be a Kaehler left $K$-manifold and suppose that there exists a moment map $μ$ for the action of $K$ on $F$. Let ${\cal S}=Γ(E imes_K F)$. In this paper we study the equation $$ΛF_A+μ(Φ)=c$$ for $A\in {\cal A}^{1,1}$ and a section $Φ\in {\cal S}$, where $c\in{\frak k}$ is a fixed central element. We study which orbits of the action of the complex gauge group on ${cal A}^{1,1} imes{\cal S}$ contain solutions of the equation, and we define a positive functional on ${cal A}^{1,1} imes{\cal S}$ which generalises the Yang-Mills-Higgs functional and whose local minima coincide with the solutions of the equation.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体上の構造群 $K$ とファイバー $F$（ハミルトニアン $K$-作用をもつケーラー多様体）をもつケーラー・ファイブレーションへのヒチン＝コバヤシ対応の一般化。
• 接続 $A$ と断面 $\Phi$ からなる対 $(A, \Phi)$ に対する $c$-安定性の概念を定義し、ムーファーの GIT 安定性を一般化する。
• ヤン・ミルズ・ヒッグス汎関数を一般化する接続と断面の空間上の正の汎関数を構成し、その極小値が方程式の解に対応することを示す。
• 方程式 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ のゲージ同値な解の存在と $c$-安定性との間の対応を確立する。

提案手法

• 接続の空間 $\mathcal{A}^{1,1}$ を定義し、$K$-バンドル $E \to X$ 上で、曲率が $\Omega^{1,1}(E \times_{\operatorname{Ad}} \mathfrak{k})$ に値をとるようにし、関連する $G$-バンドルに整合する正則構造を保証する。
• $\mathfrak{k}$ 上の非退化な双不変ペアリングを用いて $\mathfrak{k} \simeq \mathfrak{k}^*$ を同定し、$F \to \mathfrak{k}^*$ であるモーメント写像 $\mu$ を、$\mathcal{S} = \Gamma(E \times_K F)$ にファイバーごとに引き戻す。
• $A \in \mathcal{A}^{1,1}$、$\Phi \in \mathcal{S}$、固定された中心的定数 $c \in \mathfrak{k}$ に対して方程式 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ を研究する。ここで $\Lambda$ はケーラー形式との外積の随伴作用素である。
• $c$-安定性を、フィルトレーションの場合の部分層に関する重み付き不等式を含む対 $(A, \Phi)$ の単純性と $c$-安定性を定義する。
• $\mathcal{A}^{1,1} \times \mathcal{S}$ 上にヤン・ミルズ・ヒッグス汎関数を一般化する汎関数を構成し、その局所的極小値が方程式の解と一致することを示す。
• $\mathcal{G}_G$-軌道が解を含むための必要十分条件は、対が $c$-安定であることであり、このような解は $\mathcal{G}_K$-ゲージ変換の意味で一意的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対 $(A, \Phi)$ が方程式 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ の解にゲージ変換可能であるための条件は何か？
• RQ2 射影的多様体（GIT を通じて）での安定性の概念を、ハミルトニアン群作用をもつ任意のケーラー多様体へどのように一般化できるか？
• RQ3 対 $(A, \Phi)$ の解析的安定性とモーメント写像方程式の解の存在との間の正確な関係は何か？
• RQ4 一般化されたヤン・ミルズ・ヒッグス汎関数は方程式 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ の解とどのように関係しているか？
• RQ5 この対応の文脈において、フィルトレーションに対するボゴモロフ不等式の形は何か？

主な発見

• 対 $(A, \Phi)$ が $c$-安定であることと、方程式 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ の解にゲージ変換可能であることは同値であり、完全なヒチン＝コバヤシ対応が確立される。
• $\mathcal{A}^{1,1} \times \mathcal{S}$ 上の汎関数はヤン・ミルズ・ヒッグス汎関数を一般化しており、その局所的極小値は方程式の解にちょうど一致する。
• フィルトレーション $0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_s \subset V$ の場合、方程式は $\Lambda F_A - i\sum \tau_k \pi^{h}_{V^k} = -ic\operatorname{Id}$ に変わる。ここで $c = \frac{\deg(V) + \sum \tau_k \operatorname{rk}(V_k)}{R}$ である。
• フィルトレーションの安定性条件は、任意の非ゼロかつ真の反射的部分層 $V^1 \subset V$ に対して、$\frac{\deg(V^1) + \sum \tau_k \operatorname{rk}(V_k \cap V^1)}{\operatorname{rk}(V^1)} < \frac{\deg(V) + \sum \tau_k \operatorname{rk}(V_k)}{R}$ である。
• ボゴモロフ不等式が成り立つ：$c$-安定な対に対して $\deg(V)\left(\frac{\deg(V)+\sum\tau_k\operatorname{rk}(V_k)}{R}\right) - \sum \tau_k \deg(V_k) - 4\pi^2\langle ch_2(V) \cup \omega^{[n-2]}, [X] \rangle \geq 0$ が成り立つ。
• この対応は $\mathcal{G}_K$-ゲージ変換の意味で一意的である：各 $\mathcal{G}_G$-軌道は、高々一つの $\mathcal{G}_K$-軌道の解を含む。