[論文レビュー] A Holographic Approach to Spacetime Entanglement

Jason Wien|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、アインシュタイン重力における平面対称を持つボリューム曲線のボトムアップ的エントロピーと、AdS₃における境界区間の微分エントロピーの間で、ホログラフィック双対性を確立している。具体的には、そのような曲線に対して、特定の境界区間族の微分エントロピーが、曲線の重力的エントロピーと正確に一致することを証明している。この構成は可逆的であり、与えられた区間族から、エンタングルメント・ウェッジ境界の交点を用いて、対応するボリューム曲線を再構成できる。

ABSTRACT

Recently it has been proposed that the Bekenstein-Hawking formula for the entropy of spacetime horizons has a larger significance as the leading contribution to the entanglement entropy of general spacetime regions, in the underlying quantum theory [2]. This `spacetime entanglement conjecture' has a holographic realization that equates the entropy formula evaluated on an arbitrary space-like co-dimension two surface with the differential entropy of a particular family of co-dimension two regions on the boundary. The differential entropy can be thought of as a directional derivative of entanglement entropy along a family of surfaces. This holographic relation was first studied in [3] and extended in [4], and it has been proven to hold in Einstein gravity for bulk surfaces with planar symmetry (as well as for certain higher curvature theories) in [4]. In this essay, we review this proof and provide explicit examples of how to build the appropriate family of boundary intervals for a given bulk curve. Conversely, given a family of boundary intervals, we provide a method for constructing the corresponding bulk curve in terms of intersections of entanglement wedge boundaries. We work mainly in three dimensions, and comment on how the constructions extend to higher dimensions.

研究の動機と目的

• 時空のエンタングルメント予想のホログラフィック実現を確立し、ボリュームの重力的エントロピーと境界の微分エントロピーを結びつける。
• アインシュタイン重力において、境界区間族の微分エントロピーが、平面対称を持つボリューム曲線のBekenstein-Hawkingエントロピーに等しいことを証明する。
• ボリューム曲線と境界区間族の間の両方向への明示的構成を提供する。
• 双対性を高次元に拡張し、高次曲率重力理論におけるその意味を検討する。
• 境界区間の微分エントロピーがボリューム曲線のエントロピーと一致する条件を特定し、非理想状況における一般化された「スケーリング」形式を同定する。

提案手法

• 本稿は、境界領域のエンタングルメント・エントロピーが、ボリューム内極値面の面積に等しいというホログラフィックエンタングルメント・エントロピーの原理を用いる。
• 微分エントロピーは、境界上に存在するコディメンション2の面の族に沿ったエンタングルメント・エントロピーの方向微分として定義される。
• 主な構成は、ボリューム曲線 γ_B(λ) を、その接線測地線が境界と交わる点 γ_L(λ) と γ_R(λ) を用いて、境界区間族に写像する。
• 平面対称を持つボリューム曲線に対して、境界族の微分エントロピーがBekenstein-Hawkingエントロピーに等しいことを、接線ベクトルと測地線方向の整合性を示す幾何学的補題を用いて証明する。
• 逆方向の構成は、隣接する区間のエンタングルメント・ウェッジ境界の外包絡線を形成し、その交点がボリューム曲線を再構成することによって達成される。
• 付録Eでは、ボリューム曲線の接線と測地線方向とのなす角 α(λ) が1でない場合、微分エントロピーが α(λ) にスケーリングされることを示す一般化された関係式が導出されており、より広いクラスの構成においても双対性が保たれることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AdS₃における境界区間族の微分エントロピーは、アインシュタイン重力下で平面対称を持つ対応するボリューム曲線のBekenstein-Hawkingエントロピーに等しいか？
• RQ2 エンタングルメント・ウェッジ境界を用いて、与えられた境界区間族からボリューム曲線を再構成できるか？
• RQ3 境界区間の微分エントロピーがボリューム曲線のエントロピーと一致する幾何的条件は何か？
• RQ4 ボリューム曲線の接線ベクトルが測地線方向と一致しない場合（すなわち α(λ) ≠ 1 の場合）、双対性はどのように一般化されるか？
• RQ5 この双対性は、高次元時空や高次曲率重力理論へとどの程度拡張可能か？

主な発見

• 平面対称を持つボリューム曲線に接線測地線を用いて構成された境界区間族の微分エントロピーは、アインシュタイン重力下でその曲線のBekenstein-Hawkingエントロピーと等しい。
• この構成は可逆的である：ボリューム曲線は、族に属する隣接する区間のエンタングルメント・ウェッジ境界の交点として再構成可能である。
• 接線ベクトルが測地線方向と一致しない曲線に対しては、微分エントロピーは、曲線の接線と測地線方向とのなす角の余弦 α(λ) にスケーリングされる。
• 双対性はAdS₃で成立し、適切な一般化のもとで高次元へと拡張可能であり、同じ幾何的構造が保たれる。
• 非一致するベクトルの場合、関係式はスケーリングされた微分エントロピーの形を取り、スケーリング係数 α(λ) が積分式に明示的に現れる。
• 周期的境界条件のもとでは、スケーリングされた微分エントロピーにおける全微分項が消えるため、閉じたボリューム曲線に対しても等式が成立する。