[論文レビュー] A hyperplane inequality for measures of unconditional convex bodies

Alexander Koldobsky|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無条件凸体の測度に関する超平面不等式を確立し、その体積の1/n乗に比例する最大中央超平面断片の測度を定数倍した量によって、このような体積の測度が上界で抑えられることを証明している。この結果は、交差体の安定性および lp-球の線形変換を用いて、ボーグァインの体積不等式を任意の偶数連続測度へ拡張するものである。

ABSTRACT

We prove an inequality that extends to arbitrary measures the hyperplane inequality for volume of unconditional convex bodies originally observed by Bourgain.

研究の動機と目的

• 無条件凸体について、体積の超平面不等式を任意の測度へ拡張すること。
• 中心超平面断片の最大測度と体積の1/n乗を含む一様な上界を確立すること。
• 体積比が有界な凸体の双対体へ超平面不等式を一般化すること。
• 交差体の安定性結果を活用して、測度に基づく不等式を導出すること。
• 関数的・幾何的道具を用いて、対称凸幾何における測度比較の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 無条件凸体 L をスケーリングされた L1-球およびその双対に埋め込むためにロザノフスキーの定理を用い、交差体の性質を活用する。
• T(B∞ⁿ) ⊂ L ⊂ nT(B1ⁿ) を満たす線形作用素 T を構成し、L を交差体 K と関連付ける。
• f = χK + gχL と定義し、g を測度 μ の密度関数とする。K 上で f ≥ 1 が成り立つようにする。
• 交差体の安定性不等式（命題 1）を適用し、f を K 上で積分する上界を求める。
• 体積比と極体を用いて、L の測度とその双対体の測度を関連づけ、特に楕円体を通じて関係を求める。
• ℓp-球の体積公式および行列式の上限を用いて、|K|^{1/n} を |L|^{1/n} で評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無条件凸体の体積に関する超平面不等式は、偶数連続非負密度を持つ任意の測度へ拡張可能か？
• RQ2 無条件体に対する測度に基づく超平面不等式における最適な絶対定数 C は何か？
• RQ3 極体の体積比が、体積比が有界な体の双対体に対する測度不等式にどのように影響するか？
• RQ4 交差体の安定性結果を用いて、測度比較不等式を導出できる範囲はどの程度か？
• RQ5 双対の場合における体積比依存性はタイトか、あるいは改善可能か？

主な発見

• 任意の無条件凸体 L および偶数連続非負密度を持つ任意の測度 μ に対して、絶対定数 C が存在し、μ(L) ≤ C × maxξ∈Sⁿ⁻¹ μ(L ∩ ξ⊥) × |L|^{1/n} が成り立つ。
• 定数 C は e（約 2.718）として取ることができ、n → ∞ の漸近的挙動では約 0.5√e に収束する。
• 不等式は交差体の安定性結果を介して証明され、K = nT(B₁ⁿ) が交差体であることが示されている。
• 体積比が有界な体の双対体に対しては、極体の体積比を要因として含むが、C は絶対定数のみに依存する。
• 従来の交差体および k-交差体に関する不等式を一般化し、交差体に対しては既知の最良定数 C = n/(n−1)cn を得ている。
• 本手法は無条件体および体積比が有界な体の双対体の両方へ適用可能であり、1 つの測度に基づく超平面不等式によって、2 つのクラスを統一的に扱う。