[論文レビュー] $(A_\infty,2)$-categories and relative 2-operads

Nathaniel Bottman, Shachar Carmeli|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、相対的2-オペラッドの概念を導入し、2-アソシアヘドロンがアソシアヘドロンに関してこのような構造をなすことを証明する。トポロジカルおよびチェーン複体の設定において、$(A_\infty,2)$-圏と代数を定義し、連続写像 $A\to X$ に対して $θ(A\to X)$ 代数の族を構成し、$Ω^2X$ および $Ω A \times Ω A$ を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

We define the notion of a 2-operad relative to an operad, and prove that the 2-associahedra form a 2-operad relative to the associahedra. Using this structure, we define the notions of an $(A_\infty,2)$-category and $(A_\infty,2)$-algebra in spaces and in chain complexes over a ring. Finally, we show that for any continuous map $A o X$, we can associate an $(A_\infty,2)$-algebra $θ(A o X)$ in $ extsf{Top}$, which specializes to $θ( ext{pt} o X) = Ω^2 X$ and $θ(A o ext{pt}) = ΩA imes ΩA$.

研究の動機と目的

• 新しい代数的構造—相対的2-オペラッド—を定義し、高次の圏的構造のためのオペラッドの一般化を実現すること。
• 2-アソシアヘドロンが、その実現が分岐空間であることに基づき、アソシアヘドロンの上に相対的2-オペラッドをなすことを確立すること。
• この相対的オペラッド的枠組みを用いて、トポロジカルおよびチェーン複体の圏における $(A_\infty,2)$-圏と代数を定義すること。
• 連続写像 $A\to X$ に対して、代数の族 $\theta(A\to X)$ を構成し、ループ空間の構成を統一すること。

提案手法

• 相対的2-オペラッドを、アソシアヘドロン $P_r = \overline{\mathcal{M}}_r$ と、忘却写像と接合写像を備えた空間の族 $Q_{\mathbf{n}} = \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$（2-アソシアヘドロン）として定義し、整合性条件を満たすようにする。
• ウィッチ曲線による2-アソシアヘドロンの分岐的実現を用いて、忘却写像 $\pi: \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}} \to \overline{\mathcal{M}}_r$ と木のペアに対する再帰的接合写像 $\Gamma_{2T}$ を定義する。
• 各 $r$-組 $\mathbf{n} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^r \setminus \{\mathbf{0}\}$ に対して、$\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$ でインデックスづけられた射の空間を割り当てることで、相対的2-オペラッド上の圏を構成する。
• 2-アソシアヘドロン上の特異ホモロジー $C_*(Q_{\mathbf{m}})$ を用いて、$R$-線形 $(A_\infty,2)$-圏を定義し、ファイバー積とアレクサンダー＝ホイットニー写像を含む結合写像の可換図式が満たされることを保証する。
• $\widetilde{(A_\infty,2)}$-代数 $\theta(A\to X)$ を、境界条件が $A$ に属するような $[0,1]^2 \to X$ の写像の空間として定義し、$\Omega^2X$ および $\Omega A \times \Omega A$ を一般化する。
• $2\text{Cube}_{\mathbf{n}}$ のホモトピー型を $\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$ のモデルとして用い、将来の相対的2-オペラッドのモデル構造においてホモトピー同値である可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-アソシアヘドロンは、アソシアヘドロンに関して整合的なオペラッド的構造を備えられるか？
• RQ2 $(A_\infty,2)$-圏における高次圏的合成を捉えるために、正しいオペラッドの一般化は何か？
• RQ3 この相対的オペラッド的枠組みを用いて、トポロジカルおよびチェーン複体の設定における $(A_\infty,2)$-代数と圏をどのように定義できるか？
• RQ4 写像 $A\to X$ に対して、構成 $\theta(A\to X)$ のホモトピー的意味は何か？
• RQ5 $({\rm 2Cube}_{\mathbf{n}})$ と $(\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$ は、適切なモデルカテゴリの中でホモトピー同値であるか？

主な発見

• 2-アソシアヘドロン $\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$ は、アソシアヘドロン $\overline{\mathcal{M}}_r$ の上に、整合性条件を満たす忘却写像と再帰的接合写像を備えた相対的2-オペラッドをなす。
• $\theta(A\to X)$ の構成により、Topにおける $\widetilde{(A_\infty,2)}$-代数が得られ、$\theta({\rm pt} \to X) = \Omega^2X$ および $\theta(A \to {\rm pt}) = \Omega A \times \Omega A$ が成り立つ。
• $R$-線形 $(A_\infty,2)$-圏は、相対的2-オペラッド $(\overline{\mathcal{M}}_r, \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$ 上の $R$-線形圏として定義され、特異ホモロジーとファイバー積を含む可換図式を満たす結合写像を持つ。
• 相対的2-オペラッド構造は、忘却写像 $\pi: \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}} \to \overline{\mathcal{M}}_r$ と安定な木のペアに対する再帰的接合写像 $\Gamma_{2T}$ を通じて形式化される。
• 2-オペラッド $({\rm 2Cube}_{\mathbf{n}})$ は、リトルキューブオペラッドに密接に関連する相対的2-オペラッドの第二の例として導入される。
• 著者らは、将来の相対的2-オペラッドのモデルカテゴリにおいて、$({\rm 2Cube}_{\mathbf{n}})$ と $(\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$ がホモトピー同値であると予想している。