[論文レビュー] Generating the Fukaya categories of Hamiltonian G-manifolds

J. D. Evans, Yankı Lekili|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 52被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアン $G$-作用が単調なシンプレクティック多様体 $X$ 上に作用するとき、自由ラグランジュ部分多様体軌道が、体 $k$ 上の単調 Fukaya 圈の和分解の一部を split-generate するための必要十分条件を確立している。その条件は、その軌道がその和分解において非零対象を表す場合に限る。この結果は、クィルトド・フロアー理論とコシュール双対性を用いて構成された、$T^*G$ の導来包み込み Fukaya 圈から $X^{-} \times X$ の導来 Fukaya 圈へのファンクターに依拠しており、特に対称的 Fano 多様体やグラスマンニアンに対して応用が可能である。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact Lie group and $\mathbf{k}$ be a field of characteristic $p \geq 0$ such that $H^* (G)$ does not have $p$-torsion. We show that a free Lagrangian orbit of a Hamiltonian $G$-action on a compact, monotone, symplectic manifold $X$ split-generates an idempotent summand of the monotone Fukaya category $\mathcal{F}(X; \mathbf{k})$ if and only if it represents a non-zero object of that summand (slightly more general results are also provided). Our result is based on: an explicit understanding of the wrapped Fukaya category $\mathcal{W}(T^*G; \mathbf{k})$ through Koszul twisted complexes involving the zero-section and a cotangent fibre; and a functor $D^b \mathcal{W}(T^*G; \mathbf{k}) o D^b\mathcal{F}(X^{-} imes X; \mathbf{k})$ canonically associated to the Hamiltonian $G$-action on $X$. We explore several examples which can be studied in a uniform manner including toric Fano varieties and certain Grassmannians.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン $G$-作用の下での自由ラグランジュ軌道が、単調 Fukaya 圈の和分解を split-generate する条件を特定すること。
• 幾何的合成とクィルト形式主義を用いて、$D^b\mathcal{W}(T^*G;k)$ から $D^b\mathcal{F}(X^{-}\times X;k)$ への三角的 $A_\infty$-ファンクターを構成すること。
• このファンクターによるゼロ切断の像が、$L = \mu^{-1}(0)$ が自由ラグランジュ軌道であるとき $L \times L$ に同型であることを示すこと。
• 具体的な例、特に対称的 Fano 多様体とグラスマンニアンに対して結果を適用し、明示的な split-generators を同定すること。
• 量子コホノロジーが特定の特徴的条件下で局所環に分解されることを示し、Fukaya 圈における単一の和分解を示唆すること。

提案手法

• モーメント写像を用いて、$(T^*G)^{-} \times X^{-} \times X$ にラグランジュ対応 $C$ を定義する。定義は $v = \mu(gx)$、$y = gx$ で与えられる。
• クィルト形式主義と幾何的合成定理を用いて、三角的 $A_\infty$-ファンクター $\mathfrak{C}: D^b\mathcal{W}(T^*G;k) \to D^b\mathcal{F}(X^{-} \times X;k)$ を定義する。
• 余接バンドルのファイバー $T^*_1G$ と $C$ の合成が、$X^{-} \times X$ 内の対角線 $\Delta$ を与えることを示し、ファンクターが生成子上で定義可能であることを保証する。
• $H_*(\Omega G;k)$ 上の解体を用いて、$\mathcal{W}(T^*G;k)$ 内のコシュール twisted コンプレックスを用いてゼロ切断を解体し、$\operatorname{char}(k)$ が $H^*(G;\mathbb{Z})$ の torsion を割り切らない場合に準同型を用いる。
• $\mathcal{W}(T^*G;k)$ が $T^*_1G$ によって生成されることを証明し、ファンクターの定義を単一の対象に還元する。
• このファンクターをゼロ切断 $G \subset T^*G$ に適用し、$L = \mu^{-1}(0)$ が自由軌道であるとき、その像が $L \times L$ に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由ラグランジュ軌道 $L = \mu^{-1}(0)$ が、$\mathcal{F}(X;k)$ の和分解を split-generate するための条件は何か？
• RQ2 $\mathcal{W}(T^*G;k)$ は、コシュール複体と $H_*(\Omega G;k)$ 上のホモロジー代数を用いてどのように明示的に記述できるか？
• RQ3 正の特徴的条件下での、対称的 Fano 多様体およびグラスマンニアンの量子コホノロジー $QH(X;k)$ の構造は何か？
• RQ4 グラスマンニアン $\operatorname{Gr}(n,2n)$ の量子コホノロジーが局所環であるのはいつか？ これは Fukaya 圈における単一の和分解を示唆する。
• RQ5 Fukaya 圈の $A_\infty$-構造は、環構造が半単純でない場合でも、量子コホノロジーの非半単純性をどのように反映するか？

主な発見

• 自由ラグランジュ軌道 $L = \mu^{-1}(0)$ が $\mathcal{F}(X;k)$ の和分解を split-generate するための必要十分条件は、$\operatorname{char}(k)$ が $H^*(G;\mathbb{Z})$ の torsion を割り切らない場合に、その軌道がその和分解において非零対象を表す場合に限る。
• $\mathfrak{C}: D^b\mathcal{W}(T^*G;k) \to D^b\mathcal{F}(X^{-} \times X;k)$ は、クィルトド・フロアー理論と幾何的合成を用いて構成され、$\mathfrak{C}(T^*_1G) \cong \Delta$ が成り立つ。
• ゼロ切断 $G \subset T^*G$ は $\mathfrak{C}$ によって $L \times L$ に写される。したがって、$L$ が自由軌道であるとき $\mathfrak{C}(G) \cong L \times L$ である。
• $X = \operatorname{Gr}(2^s, 2^{s+1})$ かつ $k$ が特徴的 2 のとき、$QH(X;k)$ は局所環であるため、Fukaya 圈は唯一の和分解しか持たない。
• 特徴的 2 において、$\operatorname{Gr}(2^s, 2^{s+1})$ 内の同次ラグランジュ部分多様体 $U(2^s)$ は、Fukaya 圈全体を split-generate する。
• $\mathbb{C}P^1; \mathbb{F}_2$ の量子コホノロジー $QH(\mathbb{C}P^1; \mathbb{F}_2)$ は環として半単純でないが、$A_\infty$-構造を考慮すると半単純に振る舞い、$\mu^4(H,H,H,H) = H$ が成り立つ。