[論文レビュー] A large-scale regularity theory for the Monge-Ampere equation with rough data and application to the optimal matching problem

Michaël Goldman, Martin Huesmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、粗いデータを伴う Monge-Ampère 方程式に対して大規模な正則性理論を確立し、2次元における最適輸送写像が、すべてのスケールで対数的に発散するシフトを除き、恒等写像に一様に近いことを証明する。主な結果は、大規模な系において、輸送写像がすべてのスケールで恒等写像に近いままであることを示す定量的評価であり、これにより2次元における Lebesgue 測度とポアソン点過程の間の局所的に最適で定常なカップリングの構成が可能になる。

ABSTRACT

The aim of this paper is to obtain quantitative bounds for solutions to the optimal matching problem in dimension two. These bounds show that up to a logarithmically divergent shift, the optimal transport maps are close to be the identity at every scale. These bounds allow us to pass to the limit as the system size goes to infinity and construct a locally optimal coupling between the Lebesgue measure and the Poisson point process which retains the stationarity properties of the Poisson point process only at the level of second-order differences. Our quantitative bounds are obtained through a Campanato iteration scheme based on a deterministic and a stochastic ingredient. The deterministic part, which can be seen as our main contribution, is a regularity result for Monge-Ampère equations with rough right-hand side. Since we believe that it could be useful in other contexts, we prove it for general space dimensions. The stochastic part is a concentration result for the optimal matching problem which builds on previous work by Ambrosio, Stra and Trevisan.

研究の動機と目的

• 一般次元における右辺が粗い場合の Monge-Ampère 方程式のための大規模正則性理論の構築。
• Lebesgue 測度とポアソン点過程の間の最適マッチング問題における、臨界次元 d=2 における最適輸送写像の定量的評価。
• 周期的最適輸送写像の無限系サイズ極限をとることにより、R² 上の Lebesgue 測度とポアソン点過程の間の局所的に最適で定常なカップリングの存在を確立すること。
• 決定的正則性推定と確率的集中結果を結びつけることで、最適マッチング問題における揺らぎを制御すること。

提案手法

• Campanato の反復スキームを用い、右辺の積分可能性を最小限にした条件下で、Monge-Ampère 方程式の解の Hölder 正則性を示す決定的正則性結果と、最適マッチング問題における確率的集中推定を組み合わせる。
• 決定的側面では、すべての次元で右辺の最小限の積分可能性仮定のもとで、Monge-Ampère 方程式の解の Hölder 正則性を確立する。
• 確率的側面では、Ambrosio, Stra, Trevisan らの先行研究に基づき、ポアソン点過程の測度集中を用いてマッチングコストの揺らぎを制御する。
• 輸送写像と恒等写像の近さをスケール不変な L² 範囲で測定し、 dyadic スケール全域にわたって一様な評価を導出する。
• 無限体積カップリングの構成は、系サイズ L→∞ のときのトーラス上での有限体積最適輸送写像の弱収束に依存する。
• 極限カップリングは2次差分のレベルでのみ定常性を保ち、2次元マッチングコストの対数的発散を反映している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右辺が粗い場合に、Monge-Ampère 方程式の解に対して定量的正則性推定をどのように得られるか。
• RQ2 系サイズ L→∞ のとき、2次元における Lebesgue 測度とポアソン点過程の間の最適マッチングコストの漸近的挙動はいかなるものか。
• RQ3 周期的最適輸送写像の極限をとることにより、R² 上の Lebesgue 測度とポアソン点過程の間の定常的かつ局所的に最適なカップリングを構成可能か。
• RQ4 2次元最適マッチング問題における輸送写像が、すべてのスケールで恒等写像にどの程度近いか、そしてその近さをどのように定量的に表現できるか。

主な発見

• d=2 において、ランダムな半径 r*,L が存在し、r*,L ≪ L であり、かつすべての L に対して E[exp(cr*,L² / log(2r*,L))] が一様に有界である。
• すべてのスケール ℓ ∈ [2r*,L, L] において、輸送写像 T は L² 意味で恒等写像に加えたシフト xL に一様に近い。評価式は ∫_{Bℓ(xL)} |T - (x - xL)|² dx ≲ ℓ⁴ log³(ℓ/r*,L) / (ℓ/r*,L)² で与えられる。
• シフト xL は |xL|² ≲ r*,L² log³(L/r*,L) を満たし、重心シフトが系サイズに比べて非線形的に増加することを示す。
• 恒等写像からの L² 偏りの評価は、ある ξ ∈ R² に対して ∫_{Bℓ(xL)} |T - (x - ξ)|² dx ≲ ℓ⁴ log(ℓ/r*,L) / (ℓ/r*,L)² と改善され、近似的に最適性を示す。
• R² 上の Lebesgue 測度とポアソン点過程の間の極限カップリングは、局所的に最適で共変的であるが、定常性は2次差分のレベルでのみ保持される。
• 無限体積カップリングの構成は、有限体積最適写像の弱収束と、すべてのスケールで揺らぎを制御する決定的正則性理論の使用に依存する。