[論文レビュー] A lattice worldsheet sum for 4-d Euclidean general relativity

Michael Reisenberger|ArXiv.org|Nov 17, 1997

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 49被引用数 71

ひとこと要約

本稿では、スピンネットワークの時空歴史（スピンワールドシート）に関する和を用いた4次元ユークリッド量子一般相対性理論の格子パス積分モデルを提案する。幾何学的性質は、SU(2)スピン表現の離散スペクトルから生じる。このモデルは、スピンネットワーク幾何学を通じてプランクスケールの離散性を自然に実現し、連続極限においてユークリッド一般相対性理論を再現する。力学的性質は、4単体複体内のスピンを帯びたウェッジの横断的交差に符号化される。

ABSTRACT

A lattice model for four dimensional Euclidean quantum general relativity is proposed for a simplicial spacetime. It is shown how this model can be expressed in terms of a sum over worldsheets of spin networks, and an interpretation of these worldsheets as spacetime geometries is given, based on the geometry defined by spin networks in canonical loop quantized GR. The spacetime geometry has a Planck scale discreteness which arises "naturally" from the discrete spectrum of spins of SU(2) representations (and not from the use of a spacetime lattice). The lattice model of the dynamics is a formal quantization of the classical lattice model of \cite{Rei97a}, which reproduces, in a continuum limit, Euclidean general relativity.

研究の動機と目的

• ループ量子重力の運動論的枠組み内で、明示的な4次元微分同相変換不変性を持つ量子一般相対性理論のパス積分形式化を構築すること。
• 時空格子によるUV正則化を用いずに、SU(2)表現の離散スペクトルを通じてプランクスケールの時空離散性を実現すること。
• 4次元ユークリッド重力の力学的性質を、スピンネットワークのスピンワールドシートに関する和として表現すること。ここで、相互作用は単体複体内のスピンを帯びたウェッジの横断的交差から生じる。
• 古典的格子モデルの形式的量子化を提供し、連続極限でプレバンスキーのユークリッド一般相対性理論の形を再現すること。

提案手法

• モデルは、4次元単体格子上の接続に関するパス積分として定式化され、細胞振幅はスピンネットワーク関数で表現される。
• 各4単体は、そのウェッジ上のスピンラベルに依存する細胞振幅を寄与し、辺に沿ったホロノミーの積分を含む。
• 振幅はスピンネットワーク基底で展開され、非ゼロの寄与は、境界グラフを貫く整合的なスピンワールドシートを形成するスピン分布に限られる。
• 共通の接線ベクトルを持たないウェッジの横断的交差は非自明な振幅を生成するが、交差しない、または円錐型の配置（例：3ウェッジの円錐）は、BF理論に類似た振幅（1またはδ関数）をもたらす。
• スピンワールドシートの縮約振幅は、分岐ラインおよび頂点におけるインバリアントテンソルへの射影を通じて計算され、全振幅はこのような配置の和として与えられる。
• この定式化は、格子ゲージ理論およびスピンフォアムモデルの技術を用い、Ponzano-ReggeおよびSU(2)ゲージ理論の先行研究を4次元重力へ一般化したものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元ユークリッド量子重力のパス積分形式化は、完全な4次元微分同相変換不変性を満たすように構築可能か？
• RQ2 時空格子によるUV正則化を導入せずに、ループ量子重力の幾何学的離散性（プランクスケール）をどのように実現できるか？
• RQ3 スピンネットワークのスピンワールドシートに関する和として表現された量子重力の力学的構造は何か？
• RQ4 4単体内のスピンを帯びたウェッジの横断的交差は、パス積分において重力的相互作用をどのように符号化するか？
• RQ5 このモデルは連続極限において古典的ユークリッド一般相対性理論を再現するか？

主な発見

• モデルはパス積分をスピンワールドシートに関する和として表現し、各ワールドシートは離散幾何を持つスピンネットワークの時空歴史に一致する。
• 時空幾何学は、ウェッジ上のSU(2)スピンラベルから自然に生じ、プランクスケールの離散性は表現の離散スペクトルに符号化される。
• スピンワールドシートの振幅は、境界グラフを貫く整合的なスピン分布が形成されている場合にのみ非ゼロとなり、分岐ラインにおけるインバリアントテンソルの寄与が含まれる。
• 4単体内でのウェッジの横断的交差が唯一の非自明な力学的寄与の源であり、交差しない配置（例：3ウェッジの円錐）は振幅が1となり、BF理論に類似する。
• 分岐ラインを持つスピンワールドシートの縮約振幅はδ_{I I'}で与えられ、接続部におけるインバリアントテンソルの一致が要求されることを示す。
• このモデルは、連続極限でプレバンスキーの4次元ユークリッド一般相対性理論の形を再現する古典的格子モデルの形式的量子化である。