[論文レビュー] A Lauricella hypergeometric series over finite fields

Bing He|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Lauricella 超幾何級数 $F_D^{(n)}$ の有限体版を導入し、グリーンの研究およびリーらによる有限体超幾何関数に関する先行研究を一般化する。級数に対して積分公式、還元および変換恒等式、2つの母関数を確立し、古典的結果を有限体上の多変数設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a finite field analogue of a Lauricella hypergeometric series. An integral formula for the Lauricella hypergeometric series and its finite field analogue are deduced. Transformation and reduction formulae and several generating functions for the Lauricella hypergeometric series over finite fields are obtained. Some of these generalize certain results of Li \emph{et al} and Greene as well as several other known results.

研究の動機と目的

• 多変数Lauricella 超幾何級数 $F_D^{(n)}$ の有限体版を構築し、古典的超幾何理論を有限体へ拡張すること。
• グリーンおよびリーらの有限体超幾何関数に関する結果を、多変数の場合に一般化すること。
• 有限体Lauricella 級数の変換および還元公式を確立すること。
• 既知の ${}_2F_1$ およびAppell $F_1$ の結果を一般化する、級数の母関数を導出すること。
• 数論および算術幾何学への応用を想定し、有限体上での特殊関数を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• キャラクター和を用いた $F_D^{(n)}$ の有限体類似を定義する：$F_D^{(n)}(A;B_1,\dots,B_n;C|x_1,\dots,x_n) = \varepsilon(x_1\cdots x_n)AC(-1)\sum_u A(u)\overline{A}C(1-u)\overline{B_1}(1-x_1u)\cdots\overline{B_n}(1-x_nu)$。
• 古典的 $F_D^{(n)}$ の積分公式を模倣した有限体積分表現を用いる。ガンマ関数の代わりにキャラクター和とヤコビ和を用いる。
• ガウス和およびヤコビ和の性質、特に $J(\chi,\lambda) = \sum_u \chi(u)\lambda(1-u)$ を用い、変換および還元公式を導出する。
• 乗法的キャラクター $\theta \in \widehat{\mathbb{F}_q}^*$ における和分を用いた母関数技法を活用し、新たな母関数恒等式を導出する。
• グリーン（1984年）およびリーら（2014年）の有限体超幾何関数に関する既知の結果を、基礎的道具として用いる。
• 有限体上での二項係数類似：${A \choose B} = B(-1)J(A,\overline{B})$ を用い、級数を代数的に表現および操作する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数Lauricella 超幾何級数 $F_D^{(n)}$ をどのように有限体に一般化できるか？
• RQ2 $F_D^{(n)}$ に対して、古典的積分表現および変換恒等式の有限体類似は何か？
• RQ3 既知の ${}_2F_1$ および $F_1$ の結果を一般化する、有限体Lauricella 級数の母関数を導出できるか？
• RQ4 有限体 $F_D^{(n)}$ の還元および変換公式は、古典的ケースのそれらとどのように関係するか？
• RQ5 キャラクター和およびヤコビ和は、有限体 $F_D^{(n)}$ の類似を構築・解析する上で果たす役割は何か？

主な発見

• Lauricella 超幾何級数 $F_D^{(n)}$ の有限体類似が、$\varepsilon(x_1\cdots x_n)AC(-1)\sum_u A(u)\overline{A}C(1-u)\overline{B_1}(1-x_1u)\cdots\overline{B_n}(1-x_nu)$ を含むキャラクター和を用いて定義され、グリーンおよびリーらの研究を一般化する。
• 有限体 $F_D^{(n)}$ の積分公式が確立され、ガンマ関数の代わりにキャラクター和を用いた古典的積分表現を模倣する。
• 還元および変換公式が導出され、特に変数のスケーリング $x_i \to x_i/(1+t)$ を含む変換が含まれており、$F_1$ および ${}_2F_1$ に対する既知の恒等式を一般化する。
• 2つの母関数が得られた。1つはキャラクター $\theta$ における和分を含み、$F_D^{(n)}(A;B_1,\dots,B_n;C\overline{\theta}|x_1,\dots,x_n)$ と $F_D^{(n)}(A;B_1,\dots,B_n;C|x_1/(1+t),\dots,x_n/(1+t))$ の関係を示す。
• $n=1$ または $n=2$ の場合、母関数恒等式は既知の結果に還元され、ガウス超幾何級数 ${}_2F_1$ およびAppell級数 $F_1$ の母関数が回復される。
• 本研究の結果は、リーらおよびグリーンの先行研究を一般化し、キャラクター和表現を明示的に含む多変数Lauricella設定への有限体超幾何理論の拡張を実現する。