[論文レビュー] A Lazer-McKenna type problem with measures

Luigi Orsina, Francesco Petitta|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、測度データを伴う特異な楕円型Dirichlet問題 $-\Delta u = \mu / u^\gamma$ に対して解の存在および一意性を確立する。ここで $\mu$ は $q(\gamma)$-容量に関して散逸的（diffuse）な非負有界Radon測度である。著者らは局所的下界バリアを構築し、単調近似を用いて $\gamma > 0$ に対して存在を証明し、Kato型不等式と弱最大原理を用いて $\gamma \geq 1$ に対して一意性を確立する。これにより、$L^p$ データを超えて一般の散逸的測度へ結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with a general singular Dirichlet boundary value problem whose model is the following $$ \begin{cases} -Δu = \fracμ{u^γ} & ext{in}\ Ω, u=0 & ext{on}\ \partialΩ, u>0 & ext{on}\ Ω\,. \end{cases} $$ Here $μ$ is a nonnegative bounded Radon measure on a bounded open set $Ω\subset\mathbb{R}^N$, and $γ>0$.

研究の動機と目的

• 測度 $\mu$ が $q(\gamma)$-容量に関して散逸的である場合に、特異な楕円型問題 $-\Delta u = \mu / u^\gamma$ の解の存在を確立すること。
• 有界関数の単調列による近似が不可能な測度データの処理に際し、近似問題に対する局所的下界バリアを構築することで、挑戦に立ち向かうこと。
• 既知の存在結果を $L^p$ データを超えて一般の散逸的測度へ拡張すること、特にLebesgue測度に関して特異的である測度に対しても同様に適用可能であることを示すこと。
• $\gamma \geq 1$ に対して一般の一意性結果を、Kato型不等式と弱最大原理を用いて $H^1_{\rm loc}$ 解の文脈で証明すること。
• 単調性の議論を避けてバリア構築に依存することで、非特異的測度に対する既存結果の簡略化された証明を提供すること。

提案手法

• 特異項 $1/u^\gamma$ の点ごとの制御を可能にするために、近似解に対する局所的下界バリアを構築し、下からの一様有界性を保証する。
• 正則化されたデータ $\mu_n$ と $u_n$ を用いた近似問題の列 $-\Delta u_n = \mu_n / (u_n + 1/n)^\gamma$ in $\Omega$, $u_n = 0$ on $\partial\Omega$ を導入し、特異性に対処する。
• 測度 $\mu$ がLebesgue測度に関して特異的であっても、Dal MasoおよびBaras-Pierreの単調近似を用いて散逸的測度のケースを扱う。
• 容量論を用いて $q(\gamma)$-容量による散逸的測度のクラスを特徴付け、測度が零容量集合に質量を割り当てないことを保証する。
• 非線形項 $\mu / u^\gamma$ の極限への移行に際し、$W^{1,q(\gamma)}_0(\Omega)$ での弱収束および $L^\infty$-弱*収束を用いる。
• $\gamma \geq 1$ に対して一意性を証明するため、$w = u - v$ に対してKato型不等式 $-\Delta w^+ \leq 0$ を導出し、弱最大原理を適用して $w^+ = 0$ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度 $\mu$ が任意の $p \geq 1$ に対して $L^p$ に属さない場合、特異問題 $-\Delta u = \mu / u^\gamma$ が解をもつための $\mu$ の条件は何か？
• RQ2 測度 $\mu$ が $q(\gamma)$-容量に関して散逸的であっても、Lebesgue測度に関して特異的である場合に、解の存在をどのように確立できるか？
• RQ3 データが測度である場合、近似関数の単調列に依存しないで解を構築する方法は何か？
• RQ4 容量論は、このような特異問題における許容可能な測度データのクラスをどのように特徴付けるか？
• RQ5 測度データがLebesgue測度に関して特異的であっても、$\gamma \geq 1$ の場合に解は一意的か？

主な発見

• 任意の $\gamma > 0$ に対して、$\mu$ が $q(\gamma)$-容量に関して散逸的である非負有界Radon測度である限り、問題 $-\Delta u = \mu / u^\gamma$ は解をもつ。ここで $q(\gamma) = \frac{N(\gamma+1)}{N+\gamma}$ である。
• 解は $W^{1,q(\gamma)}_0(\Omega)$ に属し、$\Omega$ 几乎 everywhere で正であり、特異項 $\mu / u^\gamma$ は弱収束の意味で適切に定義される。
• $\gamma \geq 1$ の場合、解は $H^1_{\rm loc}(\Omega)$ 関数のクラスにおいて一意的であり、Kato型不等式と弱最大原理を用いて証明される。
• 著者らは、単調性の議論を避けて局所的下界バリアの構築に依存することで、非特異的測度に対する既存結果の簡略化された証明を提供する。
• 解が存在しないのは $\mu$ が零 $q(\gamma)$-容量集合に質量を割り当てる場合に限るため、散逸的条件の必要性が確認され、結果は鋭い。
• 一意性結果は $\gamma < 1$ に対しても $H^1_{\rm loc}(\Omega)$ 解に対して拡張可能であり、このような解が存在するならば、それが一意的であることが示唆される。