[論文レビュー] A Liapunov function approach to the stabilization of second order coupled systems

Alain Haraux, Mohamed Ali Jendoubi|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分的減衰を伴う2階結合系の指数的安定化のため、古典的手法が失敗する場合でも、指数的減衰を示す、新しいリャプノフ関数のアプローチを提案する。明示的でエネルギーに等価なリャプノフ汎関数を構築することで、強い結合や非有界な結合作用素に対しても指数的安定性を証明し、先行研究の漸近的安定性結果を回復・拡張し、鋭い減衰推定値を提供する。

ABSTRACT

In 2002, Fatiha Alabau, Piermarco Cannarsa and Vilmos Komornik investigated the extent of asymptotic stability of the null solution for weakly coupled partially damped equations of the second order in time. The main point is that the damping operator acts only on the first component and, whenever it is bounded, the coupling is not strong enough to produce an exponential decay in the energy space associated to the conservative part of the system. As a consequence, for initial data in the energy space, the rate of decay is not exponential. Due to the nature of the result it seems at first sight impossible to obtain the asymptotic stability result by the classical Liapunov method. Surprisingly enough, this turns out to be possible and we exhibit, under some compatibility conditions on the operators, an explicit class of Liapunov functions which allows to do 3 different things: 1) When the problem is reduced to a stable finite dimensional space, we recover the exponential decay by a single differential inequality and we estimate the logarithmic decrement of the solutions with worst (slowest) decay. The estimate is optimal at least for some values of the parameters.

研究の動機と目的

• 弱い結合・部分的減衰を伴う2階系に対して、古典的手法が失敗する中で、指数的安定性を示すためのリャプノフ関数の限界を克服すること。
• 強い結合または非有界な結合作用素のもとで、指数的減衰推定値をもたらす明示的なリャプノフ関数のクラスを構築すること。
• アラウーなど（2002年）の先行研究における非指数的減衰結果を、統一的なリャプノフ枠組みを用いて説明・一般化すること。
• 最適なパラメータ条件下での、最も遅く減衰する解に対する鋭い対数減衰推定値を確立すること。

提案手法

• 著者らは、元のエネルギーに $ u $, $ v $, $ u' $, $ v' $ を含む交差項を加えた、修正されたエネルギー汎関数 $ H_{\rho}(u,v,u',v') $ をリャプノフ関数として構築する。
• パラメータ $ \rho $ を導入し、$ H_{\rho} = E_{-1} + \rho K $ を定義する。ここで $ E_{-1} $ は修正されたエネルギー、$ K $ は正定値な二次形式である。
• クロス項の推定にヤングの不等式を用い、適切に選ばれたパラメータを用いることで、時間微分 $ \frac{d}{dt}H_{\rho} $ が負定値な二次形式によって上から抑えられ、減衰が保証される。
• パラメータ $ \rho $ を十分に小さく選び、$ \rho $, $ \rho $, $ \rho $ の調整により、リャプノフ関数の正定値性とその微分の厳密な負の性質を保証する。
• 補間法とノルムの同値性を用いて $ H_{\rho} $ を元のエネルギー $ E_0 $ と関連づけ、減衰率推定値の導出を可能にする。
• この手法は、作用素 $ A_1, A_2, B, C $ のスペクトル的性質、特に $ A_1 $ の強制性と結合定数 $ c $ の大きさに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い結合・部分的減衰を伴う2階系に対して、線形化手法が失敗する中で、リャプノフ関数を用いて指数的安定性を証明できるか？
• RQ2 結合作用素が強く、あるいは非有界である場合に、指数的減衰を保証する明示的なリャプノフ関数の形は何か？
• RQ3 アラウーら（2002年）の非指数的減衰結果を、リャプノフ枠組みを用いてどのように説明・回復できるか？
• RQ4 強い結合の下で、最も遅く減衰する解の鋭い減衰率は何か？
• RQ5 この手法を用いて、弱い結合の場合の $ 1/t $ 減衰率の最適性を示すことができるか？

主な発見

• 著者らは、ある $ \gamma > 0 $ に対して $ \frac{d}{dt}H_{\rho} \leq -\gamma K $ を満たすリャプノフ関数 $ H_{\rho} $ を構築し、エネルギーの指数的減衰を証明する。
• 有限次元系では、この手法により、最適なパrameter値に対して鋭い対数減衰推定値が得られ、指数的減衰が回復される。
• 結合作用素が恒等作用素の倍数である場合（アラウーら、2002年と同様）、この手法により非指数的減衰が説明され、$ 1/t $ 減衰率が回復される。
• 強いまたは非有界な結合作用素の下では、この手法により、最悪ケースの解についても、鋭い減衰推定値を伴う新しい指数的減衰結果が得られる。
• $ E_{-1} $ が $ K $ と同値であることが示され、$ \frac{\lambda_1 - c}{2\lambda_1} K \leq E_{-1} \leq \frac{\lambda_1 + c}{2\lambda_1} K $ が成り立つ。これによりノルムの比較が可能になる。
• $ 1/t $ 減衰率が弱い結合の場合に最適であることが確立され、$ K(t) \leq C \frac{E_0}{t} $ が成り立つ。これにより、結果の鋭さが確認される。