[論文レビュー] A Local Resolution of the Problem of Time. II. Configurational Relationalism via a generalization of Group Averaging

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 15, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 37被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、$\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 法を用いて群平均を一般化することで、量子重力における時空問題の1つの側面を解決する。これにより、配置的相対性理論が実現され、群 $\mathfrak{g}$ における極値化（群平均や下限・上限の操作を含む）によってゲージ不変で相対的な観測可能量が得られ、一般相対性理論の運動量制約やより広範な幾何的不変量への応用が可能になる。

ABSTRACT

In this article, we consider a second Problem of Time Facet. This started life as Wheeler's Thin Sandwich Problem, within the narrow context of 1) GR-as-Geometrodynamics, in particular its momentum constraint. 2) A Lagrangian variables level treatment. Conceiving in terms of Barbour's Best Matching is a freeing from 1), now in the context of first-class linear constraints. Conceiving in terms of the underlying Background Independence aspect - the titular Configurational Relationalism - serves moreover to remove 2) as well. This is implemented by the $G$-act, $G$-all method. I.e. given an object $O$ that is not $G$-invariant, we act on it with $G$ and then apply an operation involving the whole group. This has the effect of double-cancelling the introduction of our group action, thus yielding a $G$-independent version of $O$. A first example of whole-group operation is group averaging. This is a valuable prototype by its familiarity to a large proportion of Mathematics and Physics majors through featuring in elementary Group Theory and Representation Theory courses (and which can be traced back to Cauchy). In particular, this is much more familiar than Thin Sandwiches or Best Matching! Secondly, extremization over the group, of which Best Matching, and taking infs or sups over the group, are examples. Some further significant examples of this method in modern geometry and topology include those of Kendall, Younes, Hausdorff and Gromov. In this way, we populate this approach with examples well beyond the usual GR literature's by DeWitt, Barbour and Fischer (which we also outline).

研究の動機と目的

• canonical 量子重力における時空問題の第二の側面、特に一般相対性理論の運動量制約を解決すること。
• 一般相対性理論＝幾何力学およびラグランジュ的レベルの定式化に限定されない、時空問題の枠組みを解放すること。
• 群作用と全群演算を用いたゲージ不変な観測可能量の構築のための普遍的枠組みとして、配置的相対性理論を確立すること。
• 群平均と群上での極値化（例：下限・上限）が、相対的観測可能量の基礎的で広く適用可能な例としての役割を果たすことを示すこと。
• 時空問題の枠組みを一般相対性理論に限らず、幾何的・位相的および情報理論的不変量（例：Gromov–Hausdorff 距離、情報理論的構造）にまで拡張すること。

提案手法

• $\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 法を導入：非不変な対象 $O$ を群 $\mathfrak{g}$ で作用させた後、$\mathfrak{g}$ 全体にわたるグローバルな操作を施して $\mathfrak{g}$-不変なバージョンを生成する。
• $\mathfrak{g}$-all 操作の代表例として群平均を用い、そのルーツをコーシーにさかのぼらせ、表現論におけるその役割を強調する。
• $\mathfrak{g}$ 上での極値化（例：下限・上限の取り方）を適用し、Best Matching の一般化を図り、相対的距離測度を可能にする。
• $\mathfrak{g} = \mathrm{Diff}(\Sigma)$ を用いて一般相対性理論の運動量制約にこの手法を適用し、薄いスライス問題を特別な場合として回復する。
• 幾何的不変量（例：ハウスドルフ距離、Gromov–Hausdorff 距離）および物理的構造（例：エントロピー、分配関数）への応用を拡張する。
• 以下の選択基準を提唱する：直接性、物理的自然性（作用や情報との関係など）、より大きな配置空間への拡張可能性。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空問題の運動量制約の側面を、一般相対性理論＝幾何力学の枠組みに縛られず、どのように解決できるか？
• RQ2 $\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 法という統一的な群論的手法を用いて、薄いスライス問題やBest Matchingの枠組みを超えて配置的相対性理論を一般化できるか？
• RQ3 群平均と群上での極値化が、量子重力におけるゲージ不変で相対的な観測可能量を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ4 幾何学および位相学における代表的な数学的構造（例：Gromov–Hausdorff 距離）は、この相対的枠組みにどのように適合するか？
• RQ5 多くの可能な $\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 操作の中から、物理的に意味のある相対的構造を選ぶための基準は何か？

主な発見

• $\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 法は、群平均とBest Matchingを普遍的な $\mathfrak{g}$-不変な観測可能量の構築フレームワークに一般化する。
• コーシーにさかのぼる群平均は、表現論で標準的であり、相対的観測可能量の広くアクセス可能な代表例として機能する。
• $\mathfrak{g}$ 上での極値化（下限・上限の取り方を含む）は、ハウスドルフ距離やGromov–Hausdorff 距離といった相対的距離を生成する。
• この手法により、$\mathfrak{g} = \mathrm{Diff}(\Sigma)$ の下でBest Matchingに特化した場合の薄いスライス問題が回復され、古典的および相対的アプローチが統合される。
• 位置的相対性理論は一般相対性理論に限らず、幾何的・位相的および情報理論的構造にまで拡張可能であり、物理的関連性を保証するための選択基準を備えている。
• この枠組みは、量子的・ハミルトニアン的・古典的レベルの相対的構成をサポートし、トポロジーの変化を伴う空間やより大きな配置空間への拡張も可能である。