[論文レビュー] A Local Resolution of the Problem of Time. III. The other classical facets piecemeal

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 15, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 48被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における時間の問題の9つの新しい古典的側面を導入し、ディラックおよびリーのアルゴリズムを用いて、制約の閉包、観測可能量の割り当て、時空再構成、フォリエーション/再フォリエーション不変性といった側面を段階的に解決する。主な貢献は、リーの数学に基づく座標に依存しない多テンソル微積分の枠組みであり、背景独立性の側面を体系的に扱うもので、ディラック代数的構造や観測可能量代数といった代数的構造を通じて、局所的な時間の問題の解決に至る。

ABSTRACT

We introduce nine further local facets of the classical Problem of Time, and underlying Background Independence aspects, the previous two Articles having covered one further facet-and-aspect each for a total of eleven. I.e. 1) Constraint Closure, 2) Assignment of Observables, 3) Space Construction from Less Structured Space, A) Spacetime Construction from Space, 0') Spacetime Relationalism, 1') Spacetime Generator Closure, 2') Assignment of Spacetime Observables, 3') Spacetime Construction from Less Structured Spacetime, and B) Foliation Independence. These are classically implemented piecemeal by the Dirac Algorithm for 1) and the Lie Algorithm for 1'). Taking Function Spaces Thereover: over phase space for 2) and over the space of spacetimes for 2'). Feeding Deformed Families into the Dirac Algorithm for A) and into the Lie Algorithm for 3) and 3'), working out whenever Rigidity is encountered. Spacetime's diffeomorphism-invariance and perturbative Lie derivative for 0'). Finally, Refoliation Invariance following from the Dirac algebroid of the GR constraints for B). Each of these approaches is moreover grounded in Lie's Mathematics in accord with this Series' claim. The generalizations required to extend these resolutions to solve combined rather than just piecemeal facets is the main subject of Articles V to XIII. We include novel work on, firstly, Closure, including a blockwise breakdown into more specific Closure Problems. Secondly, on a coordinate-free Multi-tensor Calculus suitable for joint treatment of Background Independence aspects, presenting in particular the Dirac Algorithm, and ensuing theory of observables and of deformations. Finally, aspect 3') is new to the current Article.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における背景独立ネスに関連する、これまで未解決であった9つの古典的側面を扱うこと。
• ディラックアルゴリズムやリーの数学といった既存の古典的手法を用いて、これらの側面を段階的に解決すること。
• 観測可能量、変形、制約構造の統一的取り扱いに適した、座標に依存しない多テンソル微積分の枠組みを構築すること。
• 時間の問題を克服するための体系的で論理的な順序の古典的基礎を確立し、量子拡張への道筋を示すこと。
• 時空微分同相変換不変性、再フォリエーション不変性、および一般相対性理論における制約の代数的構造の役割を明確にすること。

提案手法

• 制約の閉包（側面1）および時空生成子の閉包（側面1’）を解決するために、ディラックアルゴリズムを適用し、制約の整合性と完全性を保証する。
• 時空相対性（側面0’）およびより構造の薄い時空からの時空構築（側面3’）を処理するために、リーのアルゴリズムを用いる。特に、リー微分および流れ法を用いる。
• 関数空間への「取り入れ」を実装して観測可能量の割り当て（側面2および2’）を達成し、第一級制約とポアソン/ディラック括弧で可換となる関数に制限する。
• 座標に依存しない多テンソル微積分を新規に導入し、配置空間、位相空間、および時空構造の違いを明確にし、代数的表現の明確さを確保する。
• ハミルトニアン制約の交換子を用いて再フォリエーション不変性を定式化し、一般相対性理論のディラック代数的構造の第3式（56）から生じることを示す。この式は構造関数を符号化している。
• TRiFol形式（フォリエーション形式における時間的相対性）を用いて、時間的相対性を保ちつつ、フォリエーション不変な力学を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約の閉包、観測可能量の割り当て、時空構築といった、9つの新しい古典的側面—これらをどのように古典的場の理論的手法を用いて個別に解決できるか？
• RQ2 ディラックおよびリーのアルゴリズムは、一般相対性理論の制約代数の文脈において、これらの側面を体系的に解決するために果たす役割は何か？
• RQ3 座標に依存しない多テンソル微積分は、配置空間、位相空間、および時空において、背景独立ネスの側面を統一的に扱うのにどのように寄与するか？
• RQ4 特に構造関数の使用を含むディラック代数的構造は、一般相対性理論における再フォリエーション不変性をどのように符号化するか？
• RQ5 観測可能量代数的スーパ構造と制約代数的サブ構造が双対的有界ラティスを形成する仕組みは何か。そして、物理法則においてそれらが果たす意義は何か？

主な発見

• 制約の閉包は、ディラックアルゴリズムによって解決され、制約が整合的か不完全かを明らかにする。成功した閉包は、第一級制約のリー代数的構造をもたらす。
• 観測可能量の問題は、第一級制約とポアソン/ディラック括弧で可換となる関数空間に制限することで解決され、制約の部分構造ラティスとは双対的な観測可能量代数的スーパ建构が形成される。
• 空間的構造からの時空再構成は、時空再構成プログラムにより達成され、古典的レベルで時空再構成問題が解決される。
• 再フォリエーション不変性は、一般相対性理論のディラック代数的構造の第3式（56）の直接的結果であることが証明され、異なるフォリエーションに沿った発展が等価な物理的結果をもたらすことを保証する。
• ディラック代数的構造の構造関数—構造定数とは異なり、時空のフォリエーションにおける広大な自由度を符号化する。代数的構造 |$\mathfrak{D}\text{irac}(\Sigma) = \text{Diff}(\mathfrak{M}, \text{Fol}) \gg \text{Diff}(\mathfrak{m})$| は、観測者に依存しない力学を捉えている。
• リーの研究から導かれるフロー法は、観測可能量可換条件を満たすPDEの解法を体系的に行う手法であり、[52]の先行研究を越える。