[論文レビュー] A machine learning accelerated FE$^2$ homogenization algorithm for elastic solids

Saumik Dana, Mary F. Wheeler|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2020

Composite Material Mechanics参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、マクロスケールの変形勾配から均質化された第一ピョラ・キルホフ応力への写像を学習済みニューラルネットワークが実行するように、リアルタイムでのRVE有限要素解法を置き換えることで、弾性固体のための機械学習で加速されたFE²均質化フレームワークを提案する。この手法により、周期的境界条件とデータ駆動型RVE応答予測を通じて正確性を維持しつつ、FE²を効果的なFE¹アルゴリズムに変換することで計算コストを低減する。

ABSTRACT

The FE$^2$ homogenization algorithm for multiscale modeling iterates between the macroscale and the microscale (represented by a representative volume element) till convergence is achieved at every increment of macroscale loading. The information exchange between the two scales occurs at the gauss points of the macroscale finite element discretization. The microscale problem is also solved using finite elements on-the-fly thus rendering the algorithm computationally expensive for complex microstructures. We invoke machine learning to establish the input-output causality of the RVE boundary value problem using a neural network framework. This renders the RVE as a blackbox which gets the information from the macroscale as an input and gives information back to the macroscale as output, thereby eliminating the need for on-the-fly finite element solves at the RVE level. This framework has the potential to significantly accelerate the FE$^2$ algorithm.

研究の動機と目的

• マクロスケールのガウス点ごとに繰り返し実行される、リアルタイムでのRVE有限要素解法を要する伝統的なFE²均質化の高い計算コストを低減すること。
• RVE境界値問題の入出力関係を捉えるデータ駆動型代替モデル（サロゲートモデル）をニューラルネットワークを用いて開発すること。
• RVEに周期的境界条件を適用することで、Hill-Mandel条件を満たし、スケール間のエネルギー的同等性を維持すること。
• 繰り返しRVE解法を排除することで、マルチスケールシミュレーションの大幅な高速化を実現し、効果的にFE²をFE¹フレームワークに変換すること。
• 標準的な均質化手法と整合性を保つために、対称的な微細構造特徴を有する2次元RVEを用いてフレームワークを検証すること。

提案手法

• マクロスケールの変形勾配を入力とし、均質化された第一ピョラ・キルホフ応力を出力とする1-3-1フィードフォワードニューラルネットワークを訓練する。
• RVEを有限要素で離散化し、データ収集フェーズにおいて従来のFE²解法を用いて、変形勾配-応力ペアの大量のデータセットを生成する。
• Hill-Mandel条件を満たし、スケール間のエネルギー的同等性を保証するために、RVEに周期的境界条件を適用する。
• バックプロパゲーションを用いてネットワークを訓練し、シグモイドなどの活性化関数を用いて非線形応力応答をモデル化する。
• 訓練済みネットワークをFE²ループ内のRVEソルバーに置き換え、マクロスケールの各ガウス点で均質化応力を直接予測可能にする。
• マクロスケールでの有限要素離散化を維持しつつ、ミクロスケールの応答計算を高速化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 機械学習代替モデルは、弾性固体のFE²均質化において、リアルタイムでのRVE有限要素解法を正確に置き換えることができるか？
• RQ2 ニューラルネットワークの使用は、正確性を損なわず、FE²アルゴリズムの計算効率にどのように影響を与えるか？
• RQ3 周期的境界条件は、RVE応答のためのニューラルネットワーク代替モデルの学習および一般化にどのような影響を与えるか？
• RQ4 繰り返しRVE解法を排除することで、フレームワークを効果的にFE¹に類似したアルゴリズムに簡略化できるか？
• RQ5 データ駆動型RVEモデルは、異なる変形勾配および微細構造配置に対してどれほど一般化できるか？

主な発見

• 提案された機械学習で加速されたFE²フレームワークにより、リアルタイムでのRVE有限要素解法の必要がなくなり、計算コストが顕著に低減された。
• ニューラルネットワーク代替モデルは、変形勾配から均質化された第一ピョラ・キルホフ応力を正確に予測し、元のFE²解と高い忠実性を達成した。
• 周期的境界条件を適用することで、エネルギー的整合性が維持され、スケール間でHill-Mandel条件が満たされた。
• この手法により、シミュレーション中にマクロスケールの有限要素解法のみを必要とするため、FE²アルゴリズムが効果的にFE¹に類似したフレームワークに変換された。
• 従来、計算負荷のため実行が困難であった複雑な微細構造のスケーラブルなマルチスケールモデリングが可能になった。
• 対称的特徴を有する2次元RVEに一般化可能であり、周期的境界条件の実装とデータ効率の良い訓練を容易にする。