[論文レビュー] A manifestly gauge invariant exact renormalization group

Morris, Tim R.|ArXiv.org|Oct 14, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、ゲージ理論におけるUV発散を扱うために、パウリ・ヴィラース（PV）正則化を用いた明示的にゲージ不変な正確なレノルミング群アプローチを提案する。高次導関数正則化を備えた複素かつ質量のあるPV場を導入し、巧みに構築された二次形式作用 $ S_B \sim \int \bar{B} \mathcal{P} B $ を用いることで、1ループにおける発散をキャンセルしつつゲージ不変性を保ち、2点関数の1ループ有限性を達成し、高次ループへの収束を可能にするフレームワークを提供する。

ABSTRACT

In these lectures we describe the construction of a gauge invariant renormalization group equation for pure non-Abelian gauge theory. In the process, a non-perturbative gauge invariant continuum Wilsonian effective action is precisely defined. The formulation makes sense without gauge fixing and thus manifest gauge invariance may be preserved at all stages. In the large N limit (of SU(N) gauge theory) the effective action simplifies: it may be expressed through a path integral for a single particle whose trajectory describes a Wilson loop. Regularization is achieved with the help of a set of Pauli-Villars fields whose formulation follows naturally in this picture. Finally, we show how the one loop beta function was computed, for the first time without any gauge fixing.

研究の動機と目的

• 高次導関数正則化が1ループにおいてゲージ不変性を維持できないという失敗を解消すること。
• 有効作用に余分な発散を生じさせない、明示的にゲージ不変な正則化スキームの開発。
• ゲージ対称性を保ちつつ、2点頂点の1ループ有限性を確保すること。
• 高次ループにおけるPV相互作用の重なり発散と非双線形性の問題に対処すること。
• すべてのスケールでUV有限性とゲージ不変性を維持する一貫性のある正則化フレームワークの構築。

提案手法

• 2次形式のパウリ・ヴィラース作用 $ S_B \sim \int \bar{B} \mathcal{P} B $ を導入し、$ \mathcal{Z}_{\text{PV}} \sim \mathcal{Z} \cdot \exp\left(-\frac{j}{2} \ln \det \mathcal{P}\right) $ を通じて分配関数を変更する。
• ゲージ場の伝播関数におけるUV発散をキャンセルするため、減算された伝播関数 $ \sim (\Delta_{\mu\nu}/c)^{-1} - (\Delta_{\mu\nu}/c + \Lambda^2 \delta_{\mu\nu})^{-1} $ を用いる。
• 2番目のPV作用 $ S_C \sim \frac{1}{2} \operatorname{tr} \int D_\mu C (\Lambda^2 / \tilde{c}_t) D_\mu C + \sigma \Lambda^4 C^2 $ を導入することで、縦方向成分における発散をキャンセルする。
• PV場に高次導関数正則化を適用し、$ \tilde{c}_t^{-1} $ を $ p^2/\Lambda^2 $ の多項式（次数 $ \tilde{r} < r+1 $）として定義することで、キャンセルの破壊を避ける。
• 高次導関数項を共変的に扱い、ゲージ不変性を保つ。これにより、$ c^{-1} $-ベースの正則化が横方向成分で失敗する問題を回避する。
• 複数のPV場を用いて横方向と縦方向の寄与を組み合わせることで、完全な伝播関数構造が適切に正則化されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次導関数正則化に依存せずに、ゲージ不変性を保ちつつ2点関数の1ループ有限性を達成できるか？
• RQ2 パウリ・ヴィラース場をどのように用いることで、有効作用における正確なゲージ対称性を保ちながら発散をキャンセルできるか？
• RQ3 高次導関数項は、PV場の縦成分を正則化する上で果たす役割は何か？
• RQ4 標準的な高次導関数正則化はなぜ横方向成分でゲージ不変性を維持できないのか？
• RQ5 高次ループ図における重なり発散を、PV正則化フレームワーク内で体系的に取り扱えるか？

主な発見

• ゲージ不変で局所的な修正によって、2点関数における最も深刻な2次UV発散が成功裏にキャンセルされた。
• 2次発散がキャンセルされた後、残る対数発散もゲージ不変であり、さらなる修正によってキャンセル可能であることが示された。
• 正則化の複雑さにもかかわらず、運動量 $ p $ に関してすべての次数において2点頂点の1ループ有限性が達成された。
• 複素かつ質量のあるPV場の使用により、正則化がゲージ対称性を破ったり、対称性の回復問題を引き起こすことはなかった。
• 有効レベルでの正確なゲージ不変性は、測度項が別々に定義可能でないことを示しており、唯一の核 $ \mathcal{P} $ のみが適切に定義可能であることが判明した。
• 高次ループ収束の問題は依然として不明であり、有効理論における多点PV相互作用の問題は完全には解決していない。