[論文レビュー] A maximal monotone operator of type (D) which maximal monotone extension to the bidual is not of type (D)

F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、双対空間への最大単調拡張が型(D)を保たない、型(D)の線形最大単調作用素の族を構成する。具体的な例を提示することで、型(D)であるという性質が双対空間への拡張において安定でないことが示され、単調作用素論における以前に仮定されていた閉包性質に疑問を呈する。

ABSTRACT

We define a family of linear type (D) operators for which the inverse of their maximal monotone extensions to the bidual are not of type (D) and provide an example of an operator in this family.

研究の動機と目的

• Banach空間における最大単調作用素の型(D)性質が、双対空間への拡張によって保たれるかどうかを調査すること。
• Banach空間における型(D)作用素の最大単調拡張が、双対空間において型(D)でなくなる条件を特定すること。
• 元の空間では線形で最大単調かつ型(D)であるが、その双対空間への拡張が型(D)でない作用素の具体的な例を構成すること。

提案手法

• 著者たちは、特定のBanach空間上で作用する1パラメータ族の線形作用素を定義し、それが元の空間において最大単調かつ型(D)であることを保証する。
• 双対空間の構造を分析し、作用素を自然にこのより大きな空間へ拡張する。
• 双対性と単調性の議論を用いて、拡張された作用素が最大単調であるが、双対空間では型(D)条件を満たさないことを検証する。
• この構成は、前対象の性質と、作用素が稠密部分空間上で示す挙動に依存する。
• 鍵となる技術的ステップは、元の作用素が型(D)であるのにもかかわらず、双対空間への逆作用素が型(D)でないことを示すことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Banach空間における型(D)の最大単調作用素は、すべて双対空間への拡張が型(D)であるか？
• RQ2 線形最大単調作用素が型(D)である場合、その双対空間への拡張が最大単調ではあるが型(D)でないことは可能か？
• RQ3 元の作用素またはその定義域のどのような構造的性質が、型(D)性質が双対空間にわたって保存されるか、または阻止されるかを保証するか？

主な発見

• Banach空間において、型(D)の線形最大単調作用素の族が明示的に構成された。
• そのような作用素の双対空間への最大単調拡張が存在し、依然として最大単調であることが示された。
• 元の作用素が型(D)であるのにもかかわらず、双対空間への逆作用素が型(D)でないことが判明した。
• 双対空間への拡張が型(D)性質を保存しない具体的な例が提示された。
• この結果により、型(D)性質が双対空間への拡張に対して不変ではないことが確立され、単調作用素論における長年の未解決問題が解決された。