[論文レビュー] On Gossez type (D) maximal monotone operators

B. F. Svaiter, M. Marques Alves|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2009

Optimization and Variational Analysis参考文献 17被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、非反射的バナッハ空間におけるゴスツェ型(D)および型(NI)の最大単調作用素の間で等価性を確立し、2つのクラスが同一であることを証明する。フィッツパトリック関数理論およびネットの性質を用いて、型(NI)が型(D)を含むことと、逆に型(D)が型(NI)を含むことを示し、従って2つの従来別個とされてきた作用素クラスを統合し、二重双対への拡張の一意性や摂動の全射性といった既知の性質を、ゴスツェ型(D)作用素の全クラスへと拡張する。

ABSTRACT

Gossez type (D) operators are defined in non-reflexive Banach spaces and share with the subdifferential a topological related property, characterized by bounded nets. In this work we present new properties and characterizations of these operators. The class (NI) was defined after Gossez defined the class (D) and seemed to generalize the class (D). One of our main results is the proof that these classes, type (D) and (NI), are identical.

研究の動機と目的

• 非反射的バナッハ空間におけるゴスツェ型(D)および型(NI)最大単調作用素が等価であるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 従来型(NI)作用素に帰属されていた性質を、ゴスツェ型(D)作用素のクラスに統合すること。
• 非線形最大単調作用素に対して、二重双対への最大単調拡張の一意性が、ゴスツェ型(D)作用素であることと同値であることを確立すること。
• フィッツパトリック関数および凸表現に関する最近の結果を、ゴスツェ型(D)作用素のより広いクラスへと拡張すること。

提案手法

• 非反射的設定における最大単調作用素の性質を分析するために、最大単調作用素を特徴付けるフィッツパトリック関数族を用いる。
• 点の近似をネットを用いて分析するため、厳密なブロンドステッド＝ロッカファラー性質を適用する。
• フェンケル＝レギュラー共役およびフェンケル＝ロッカファラー双対性を用いて、閉球上に制限された関数の共役に関する恒等式を導出する。
• Xをその二重双対X**への標準埋め込みを用いて、作用素の拡張およびその最大性を分析する。
• (D)と(NI)の等価性を活用し、(NI)理論で知られている結果（全射性、範囲の凸性など）を(D)作用素へと移行する。
• ε-部分微分およびメトリック正則性の理論を用いて、摂動下での作用素の挙動を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非反射的バナッハ空間において、ゴスツェ型(D)最大単調作用素は型(NI)最大単調作用素と等価であるか？
• RQ2 二重双対への最大単調拡張の一意性は、ゴスツェ型(D)作用素を特徴付けるか？
• RQ3 型(NI)作用素に特徴づけられる性質（例えば摂動の全射性や範囲の凸性）は、ゴスツェ型(D)作用素へと拡張可能か？
• RQ4 フィッツパトリック関数は、(D)および(NI)クラスを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 (D)および(NI)が異なる可能性がある反例は存在するか、それとも常に同一か？

主な発見

• 非反射的バナッハ空間において、ゴスツェ型(D)および型(NI)最大単調作用素のクラスは同一である。
• 非線形最大単調作用素に対して、二重双対への最大単調拡張の一意性は、ゴスツェ型(D)作用素であることと同値である。
• 従来型(NI)作用素に確立されたすべての性質（例えば、双対写像による摂動の全射性や範囲の凸性）が、今やゴスツェ型(D)作用素に対しても成立する。
• ゴスツェ型(D)作用素に対して、厳密なブロンドステッド＝ロッカファラー性質が成り立ち、作用素のグラフ内の点が稠密に近似可能であることを保証する。
• フィッツパトリック関数族は、ゴスツェ型(D)作用素を完全に特徴付けることができ、最小関数は作用素の定義域上で双対積と一致する。
• 線形最大単調作用素が非-(D)であるが、二重双対への拡張が一意であるような反例が存在することを示し、等価性の結果がすべての線形作用素へと拡張できないことを示唆している。