[論文レビュー] A maximum likelihood based technique for validating detrended fluctuation analysis (ML-DFA)

Maria Botcharova, Simon F. Farmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2013

Complex Systems and Time Series AnalysisEconomics, Econometrics and Finance参考文献 38被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、自己相関の長距離時間相関を測定する指標としてのDFA指数の信頼性を保証するために不可欠な、デトレンディッド・フラクチュエーション解析（DFA）のフラクチュエーションプロットの線形性を検証する最大尤度に基づく手法ML-DFAを提案する。AICおよびBICを用いて線形モデルと代替モデル（多項式、スプライン、指数関数、対数関数）を比較することで、過剰適合をペナルティ化し、DFA指数が統計的に意味を持つかどうかを特定する。

ABSTRACT

Detrended Fluctuation Analysis (DFA) is widely used to assess the presence of long-range temporal correlations in time series. Signals with long-range temporal correlations are typically defined as having a power law decay in their autocorrelation function. The output of DFA is an exponent, which is the slope obtained by linear regression of a log-log fluctuation plot against window size. However, if this fluctuation plot is not linear, then the underlying signal is not self-similar, and the exponent has no meaning. There is currently no method for assessing the linearity of a DFA fluctuation plot. Here we present such a technique, called ML-DFA. We scale the DFA fluctuation plot to construct a likelihood function for a set of alternative models including polynomial, root, exponential, logarithmic and spline functions. We use this likelihood function to determine the maximum likelihood and thus to calculate values of the Akaike and Bayesian information criteria, which identify the best fit model when the number of parameters involved is taken into account and over-fitting is penalised. This ensures that, of the models that fit well, the least complicated is selected as the best fit. We apply ML-DFA to synthetic data from FARIMA processes and sine curves with DFA fluctuation plots whose form has been analytically determined, and to experimentally collected neurophysiological data. ML-DFA assesses whether the hypothesis of a linear fluctuation plot should be rejected, and thus whether the exponent can be considered meaningful. We argue that ML-DFA is essential to obtaining trustworthy results from DFA.

研究の動機と目的

• DFAフラクチュエーションプロットの線形性を評価する形式的な手法の欠如に応えること。これはDFA指数の妥当性にとって不可欠である。
• 分散不均一性（heteroscedasticity）のため感度が低くまたは無効となる伝統的なR²およびカイ二乗検定の仮定の限界を克服すること。
• モデル選択に基づく統計的に厳密なアプローチを提供し、フラクチュエーションプロットが自己相似性を支持するかどうか、したがって有意義な指数推定が可能かどうかを決定すること。
• 合成FARIMA過程および実際の神経生理学的EEGデータを用いてこの手法を検証し、その信頼性と実用的有用性を示すこと。
• 神経科学や他の分野においてDFA指数を解釈する前にML-DFAを必須のステップとして確立すること。

提案手法

• 窓サイズごとのDFAフラクチュエーションの大きさを正規化し、確率密度関数として定式化することで、尤度関数を構築する。
• 線形モデルおよび5つの代替モデル（多項式、平方根、指数関数、対数関数、スプライン関数）の対数尤度を評価する。
• パラメータ数の多いモデルの過剰適合を防ぐために、赤池情報量基準（AIC）およびベイズ情報量基準（BIC）を用いてモデルの適合度を比較する。
• AICまたはBICが最小となるモデルを最良適合モデルとして選択する。線形モデルが最良である場合、フラクチュエーションプロットは線形とみなされ、DFA指数は有効とされる。
• 理論的に既知のフラクチュエーションプロット形状を示すFARIMA(0,d,0)、FARIMA(1,d,0)、FARIMA(0,d,1)過程からの合成データにこの手法を適用する。
• 最小20分間の長さを持つ事前に処理され、アーチファクトが除外された信号を用いて、20名の健康な被験者から得られた実際のヒトEEGデータをテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ML-DFAは、DFAフラクチュエーションプロットが線形であるかどうかを信頼性高く検出できるか。これにより、DFA指数が長距離時間相関の測定として有効であると検証できるか。
• RQ2 自己相似性を持つ信号（例：分数ガウスノイズ）と複雑なフラクチュエーションパターンを示す非自己相似性を持つ信号を、ML-DFAはどれほど正確に区別できるか。
• RQ3 視覚的検査が不確かである場合でも、ML-DFAは従来のR²ベースの評価よりも非線形性を検出する能力に優れているか。
• RQ4 ML-DFAは、実際の神経生理学的EEGデータに効果的に適用可能であり、報告されたDFA指数の妥当性を決定できるか。
• RQ5 混合相関性や短距離相関性を示す時系列において、非線形なフラクチュエーションプロットが原因でDFA結果が誤解されるリスクを、ML-DFAはどの程度低減できるか。

主な発見

• ML-DFAは、非ゼロのφまたはθパラメータによって生じる凸型または凹型のフラクチュエーションプロットを示すFARIMA過程においても、正しく元のモデルを同定できた。
• 理論的に自己相似性を示し、漸近的に線形なDFAプロットを生成するFARIMA(0,d,0)過程では、ML-DFAが一貫して線形モデルを最良適合モデルとして選択した。
• 非ゼロのφ（例：FARIMA(1,d,0)）を持つ場合、フラクチュエーションプロットに凹型が現れるが、ML-DFAは線形モデルを正しく拒否し、多項式またはスプライン適合を優先した。
• 非ゼロのθ（例：FARIMA(0,d,1)）を持つ場合、フラクチュエーションプロットが凸型を示すが、ML-DFAは線形モデルではなく、指数関数的または多項式的モデルを選択した。
• 神経生理学的EEGデータにおいて、ML-DFAは顕著な割合のフラクチュエーションプロットが非線形であることを明らかにした。これは、多くの報告されたDFA指数が統計的に有効でない可能性を示唆している。
• ノイズが多い、または複数成分を含む信号では視覚的検査に頼るのではなく、ML-DFAは真の自己相似性と誤った線形性を効果的に区別する強靭性を示した。