[論文レビュー] A microscopically motivated renormalization scheme for the MBL/ETH transition

Thimothée Thiery, Markus Müller+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2017

Theoretical and Computational Physics被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、不規則な量子鎖における多体局在化（MBL）/固有状態熱化仮説（ETH）遷移を研究するため、微視的に妥当なマルチスケール対角化スキームを提案する。摂動的結合に対してはスペクトル摂動論を、共鳴的（非摂動的）結合に対しては確率的行列理論およびETHを組み合わせることで、臨界において系はほとんど確実に局在化しており、べき乗則に従う熱的包含が存在することが明らかになった。エルゴドリック側では、臨界点で発散するサイズの希少で超臨界的な熱的領域によって駆動される非局所的アバランチ不安定性によって局在化が破れる。この現象は単一パrameterスケーリングの破綻を引き起こし、標準的な臨界定理の枠組みを超えることになる。

ABSTRACT

We introduce a multi-scale diagonalization scheme to study the transition between the many-body localized and the ergodic phase in disordered quantum chains. The scheme assumes a sharp dichotomy between subsystems that behave as localized and resonant spots that obey the Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH). We establish a set of microscopic principles defining the diagonalization scheme, and use them to numerically study the transition in very large systems. To a large extent the results are in agreement with an analytically tractable mean-field analysis of the scheme: We find that at the critical point the system is almost surely localized in the thermodynamic limit, hosting a set of thermal inclusions whose sizes are power-law distributed. On the localized side the {\\em typical} localization length is bounded from above. The bound saturates upon approach to criticality, entailing that a finite ergodic inclusion thermalizes a region of diverging diameter. The dominant thermal inclusions have a fractal structure, implying that averaged correlators decay as stretched exponentials throughout the localized phase. Slightly on the ergodic side thermalization occurs through an avalanche instability of the nearly localized bulk, whereby rare, supercritically large ergodic spots eventually thermalize the entire sample. Their size diverges at the transition, while their density vanishes. The non-local, avalanche-like nature of this instability entails a breakdown of single parameter scaling and puts the delocalization transition outside the realm of standard critical phenomena.

研究の動機と目的

• 平均場近似を超える、不規則な量子鎖における MBL/ETH 遷移を捉える renormalization スキームの開発。
• 以前の現象論的 RG スキームによる矛盾する予測を、微視的原理に裏付けられた手法によって解消すること。
• 特に希少な熱的包含とその非局所的効果の役割を含めた、局在化遷移の性質の理解。
• 局在化相における熱化の伝播様式と、遷移が標準的な臨界定理に従うか否かの調査。
• 臨界点が真に局在化しているのか、あるいは熱的拡張状態を示すのか、熱力学的極限における同定。

提案手法

• 局在化した部分系間の摂動的結合を繰り返し対角化するため、スペクトル摂動論を用いる。
• 共鳴的（非摂動的）結合は確率的行列理論および固有状態熱化仮説（ETH）を用いて扱い、それらを熱的包含としてモデル化する。
• 結合項は特定の順序で統合・削除される：摂動的結合を最初に除去することで、物理的でない共鳴を回避する。
• 新たに生成される結合項の典型的な行列要素は、再帰的関係式を用いて推定され、和において最小のエネルギー分母が支配的であると仮定する。
• この手法は、熱的包含の成長と局在化への影響、特に臨界付近での挙動を追跡する。
• 数値的に大きな系にこのスキームを適用し、平均場近似との比較による検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の不規則な鎖における MBL/ETH 遷移は、標準的な単一パrameterスケーリングを示すか？
• RQ2 熱力学的極限において、臨界点の性質は局在化しているのか、それとも局在化していないのか？
• RQ3 局在化相において、熱的包含はどのように成長し、相互作用するのか。空間的構造はどのようなものか？
• RQ4 局在化の破壊プロセスは、どの程度非局所的でアバランチ的不安定性を伴うのか？
• RQ5 臨界挙動は平均場近似で記述可能か。微視的原理は結果にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 臨界点において、系は熱力学的極限でほとんど確実に局在化しており、サイズがべき乗則に従う熱的包含が存在する。
• 局在化側では、典型的な局在化長が有界であり、臨界に近づくにつれて飽和する。これは、有限な熱的包含が発散する直径の領域を熱化可能であることを示唆する。
• 主な熱的包含はフラクタル構造を示し、これにより局在化相全体で平均相関関数が伸びた指数的減衰を示す。
• エルゴドリック側では、アバランチ不安定性によって局在化が破れる：希少で超臨界的な大きさの熱的領域が成長し、最終的に全系を熱化する。そのサイズは臨界点で発散する。
• これらの臨界的熱的包含の密度は臨界点で消失し、不安定性の非局所的性質が単一パrameterスケーリングを破り、遷移を標準的な臨界定理の枠組みの外に置く。
• 結果は平均場近似と強く一致しており、本スキームの予測力と微視的整合性が裏付けられた。