[論文レビュー] From Anderson localization on Random Regular Graphs to Many-Body localization

K. S. Tikhonov, A. D. Mirlin|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2021

Quantum many-body systems参考文献 122被引用数 103

ひとこと要約

本稿は、無作為な正則グラフ（RRG）上のアンドリュー局在と、不規則な量子系における多体局在（MBL）の間の深い関係を確立する。短距離およびパワー則的相互作用を持つMBLモデルをRRGに写像することで、両者に共通する主要な特徴——拡散的局在化相、局在的臨界点、フラクタル固有状態スケーリング、パワー則的動的相関——が出現することを示し、Fock空間の簡略化されたおもちゃモデルであるRRGモデルでさえも、MBL遷移を理解するための統一的枠組みを提供することを明らかにする。

ABSTRACT

The article reviews the physics of Anderson localization on random regular graphs (RRG) and its connections to many-body localization (MBL) in disordered interacting systems. Properties of eigenstate and energy level correlations in delocalized and localized phases, as well at criticality, are discussed. In the many-body part, models with short-range and power-law interactions are considered, as well as the quantum-dot model representing the limit of the "most long-range" interaction. Central themes -- which are common to the RRG and MBL problems -- include ergodicity of the delocalized phase, localized character of the critical point, strong finite-size effects, and fractal scaling of eigenstate correlations in the localized phase.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、無作為な正則グラフ（RRG）上のアンドリュー局在と、不規則に相互作用する系における多体局在（MBL）の関係を明確にすることである。
• 著者たちは、局在化相におけるエルゴード性、臨界点の局在的性質、フラクタル固有状態スケーリングといった共通の物理的特徴——RRGとMBLモデルの両者に共通するもの——を特定することを目的としている。
• 著者たちは、RRGモデルがMBLを研究するための取り扱いやすいおもちゃモデルとして機能し、その簡略化にもかかわらず本質的な臨界行動を捉えられることを示すことを目的としている。
• 彼らは、MBL系における異なる相互作用タイプ（短距離、パワー則、長距離）がRRGフレームワークにどのように写像されるかを調査し、逆参加比（IPR）やレベル統計といった主要な観測量が普遍的スケーリングを示すかどうかを検討している。

提案手法

• 著者たちは、特に局在化遷移と臨界行動に注目して、RRG上でのアンドリュー局在を記述する場の理論的手法を用いている。
• 彼らは逆参加比（IPR）、固有関数相関、帰還確率といったツールを用いて、固有状態およびエネルギー準位の統計を分析している。
• MBL系については、量子ドットモデル（長距離相互作用を表す）、パワー則的相互作用モデル（1 < α < 2）、短距離相互作用モデル（例：スピン鎖）の3つのクラスを検討している。
• 解析的スケーリング議論を用いて、MBL遷移の挙動、特に臨界不規則性Wcと局在化相におけるIPRスケーリングを予測している。
• 数値的完全対角化（ED）を用いて、特にランダム磁場を有する1次元スピン鎖とパワー則的相互作用を持つ系について、解析的予測を検証している。
• RRGとMBL系における固有状態の動的相関（β(ω)）を比較することで、局在化相において普遍的なパワー則的スケーリングが見られることが判明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RRGモデルは、不規則な量子系における多体局在の臨界行動をどの程度正確に捉えているか。
• RQ2 MBL系の局在化相における固有状態相関および逆参加比（IPR）はどのようにスケーリングするか。また、RRGとの比較ではどうなるか。
• RQ3 レア領域とスペクトル拡散はMBL遷移に果たす役割は何か。有限サイズスケーリングにどのように影響を与えるか。
• RQ4 短距離およびパワー則的相互作用を持つMBLモデルにおいて、臨界不規則性Wcは系サイズLとともにどのようにスケーリングするか。熱力学的極限において有限値に収束するか。
• RQ5 固有状態の動的相関（β(ω)）が、RRGとMBL系の両方で普遍的なパワー則的スケーリングを示す程度はどの程度か。

主な発見

• RRG系およびMBL系の拡散的局在化相は、RRGの場合にはP2 ∼ N^0、短距離またはパワー則的相互作用を持つMBL系の場合にはP2 ∼ N^0として、IPRスケーリングによってエルゴード的であることが確認された。
• RRGおよびMBL系の臨界点は局在的であり、臨界不規則性Wcは系サイズLとともにゆっくりと増加し、対数的またはパワー則より遅い依存関係に従うことが確認された。
• 短距離またはパワー則的相互作用を持つMBL系の局在化相において、IPRはP2 ∼ N^{-τ(W)}とスケーリングし、τ(W) ∼ 1/Wとなる。これは、まれな共鳴による多次元的固有状態構造を示している。
• パワー則的相互作用を持つMBL系（d < α < 2d）では、RRGへの写像によって予測されたWc(L)のスケーリングが成立し、数値的結果がWc(L)の解析的スケーリングおよび拡散的局在化相のエルゴード性を確認した。
• RRGおよびMBL系（例：スピン鎖）の両方において、局在化相では動的相関β(ω)がβ(ω) ∝ ω^{-μ(W)}としてパワー則的スケーリングを示し、不規則性依存の指数μ(W)を有する。これはRRGと同一の挙動を示している。
• ヒルベルト空間構造の違いやRRGにエルゴード的レア領域が存在しないにもかかわらず、RRGモデルはMBLの本質的物理的性質——臨界定常性および固有状態統計——を捉え、MBL遷移を理解するための価値あるおもちゃモデルである。