[論文レビュー] A minicourse on entropy theory on the interval

Jérôme Buzzi|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 52被引用数 4

ひとこと要約

このミニコースは、エルゴディック理論を用いて、区分的単調な区間写像のエントロピー理論について、包括的かつアクセス可能な導入を提供する。最大エントロピー測度、周期点、記号的力学の観点に焦点を当てる。ホーフバウアーのマルコフ図、シャドウイング性質、強く正再帰的マルコフ移行を用いて、エントロピーおよび不変測度に関する連続性、単調性、分類に関する結果を確立する。

ABSTRACT

We give a survey of the entropy theory of interval maps as it can be analyzed using ergodic theory, especially measures of maximum entropy and periodic points. The main tools are (i) a version of Hofbauer's Markov diagram, (ii) the shadowing property and the implied entropy bound and weak rank one property, (iii) strongly positively recurrent countable state Markov shifts. Proofs are given for selected results. This article is based on the lectures given at the Ecole thematique de theorie ergodique at the C.I.R.M., Marseilles, in April 2006.

研究の動機と目的

• 区分的単調な区間写像のエントロピー理論について、自己完結的でアクセス可能なサーベイを提供すること。
• 最大エントロピーを達成する測度の構造とそれらが周期軌道とどのように関係するかを分析すること。
• 有限状態マルコフ移行から可算状態系、特に強く正再帰的マルコフ移行への道具の拡張を試みること。
• 写像の関数としてのトポロジカルエントロピーの連続性および単調性の性質を確立すること。
• 記号的力学とニーディング理論を用いて、区間写像のエントロピーを計算および推定すること。

提案手法

• 区分的単調写像の力学を可算状態マルコフ移行として表現するために、ホーフバウアーのマルコフ図を用いる。
• シャドウイング性質を適用してエントロピーを評価し、非マルコフ系に対して弱いランク1構造を確立する。
• 変分原理を用いて、不変測度を通じてトポロジカルエントロピーと測度論的エントロピーを関連付ける。
• ニーディング不変量とラップ数を用いて、トポロジカルエントロピーを組み合わせ的および幾何的に計算する。
• アーツィン＝マズールのゼータ関数を用いて、周期軌道の増加と最大エントロピー測度への等分布を研究する。
• 強く正再帰的マルコフ移行の理論を活用して、最大エントロピー測度が有限個であるような系を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的単調な区間写像のトポロジカルエントロピーは、記号的力学とニーディング不変量を用いてどのように計算できるか？
• RQ2 区分的単調な区間写像に対して最大エントロピーを達成する測度の構造は何か？また、そのような測度はいくつ存在するか？
• RQ3 周期軌道は最大エントロピー測度に対してどのように等分布するか？また、アーツィン＝マズールのゼータ関数はどのような役割を果たすか？
• RQ4 区間写像の空間上の位相に関して、エントロピー関数の連続性および単調性を保証する条件は何か？
• RQ5 可算状態マルコフ移行、特に強く正再帰的なものの理論は、非マルコフな区間力学を分析するためにどのように応用できるか？

主な発見

• 区分的単調写像のトポロジカルエントロピーは、ニーディング不変量とラップ数を用いて計算可能であり、エントロピーはラップ数から1を引いた値で上界が与えられる。
• アーツィン＝マズールのゼータ関数は |z| < e^{-h_top} で正則であり、|z| < 1 までの有理型拡張をもつ。これは周期軌道の指数的増加を反映している。
• 周期軌道は最大エントロピー測度に等分布する：周期 n の周期点におけるディラック質量の正規化された和は、弱収束で最大測度の凸結合に収束する。
• 最大エントロピー測度は有限個であり、一般位置の仮定のもとで、周期を除いてベーヌリ拡張をもつ。
• エントロピー関数は、区分的単調写像の空間上の位相に関して連続的かつ単調である。
• 弱ランク1性質とシャドウイング性質により、有限状態マルコフ移行の技法が非マルコフ系へと拡張可能となり、エントロピー推定と構造的解析が可能になる。