[論文レビュー] A missing distribution and an explicit ambient metric of holonomy $\mathrm{G}_2^*$

Travis Willse|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、カルタンの分類に欠けていた例外的$(2,3,5)$分布$\bf E$の最初の明示的閉形式のアンビエント計量を構成する。$\bf E$のアンビエント計量がホロノミー$Σ_2^*$を有することを示し、$Σ_2^*$に等しい正規射影的ホロノミーを有する射影構造の最初の例を提供するとともに、左不変な共形構造のアンビエント計量に関する新たな知見をもたらす。

ABSTRACT

In his 1910 Five Variables paper, Cartan solved the equivalence problem for the geometry of $(2, 3, 5)$ distributions, which has since arisen in numerous contexts, and in doing so demonstrated an intimate link between this geometry and the exceptional simple Lie groups of type $\mathrm{G}_2$. He claimed to produce a local classification of all such (complex) distributions whose infinitesimal symmetry algebra has dimension at least $6$ and which satisfy a natural uniformity condition, but in 2013 Doubrov and Govorov showed that this classification misses a single distribution $\bf E$. We produce a closed form for the Fefferman-Graham ambient metric $\widetilde{g}_{\bf E}$ of the conformal class induced by (a real form of) $\bf E$, expanding the small catalogue of known explicit, closed-form ambient metrics. We also show that the holonomy group of $\widetilde{g}_{\bf E}$ is the uncommonly evidenced exceptional group $\mathrm{G}_2^*$, and use this to give an example of a projective structure with normal projective holonomy equal to $\mathrm{G}_2^*$. We also present some straightforward but apparently novel observations about ambient metrics of left-invariant conformal structures.

研究の動機と目的

• カルタンの$(2,3,5)$分布分類を完成させるために、欠落していたケース$\bf E$を解明すること。
• 実形式$\bf E$に付随するフェッファーマン＝グラハムのアンビエント計量の閉形式表現を構成すること。
• このアンビエント計量のホロノミーが例外的群$Σ_2^*$であることを示すこと。
• 正規射影的ホロノミーが$Σ_2^*$に等しい射影構造の最初の例を確立すること。
• 左不変な共形構造のアンビエント計量に関する新しい観察を提示すること。

提案手法

• 分布$\bf E$が誘導する共形類にフェッファーマン＝グラハムの構成を適用し、アンビエント計量を導出する。
• 適切な座標系においてアンビエント計量テンソルを明示的に計算し、閉形式の表現を得る。
• 曲率解析と表現論的議論を用いてホロノミー群を検証する。
• アンビエント計量を用いて射影構造を定義し、その正規射影的ホロノミーを分析する。
• 既知のアンビエント計量の結果を左不変な共形構造に応用し、新たな構造的洞察を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 欠落していた$(2,3,5)$分布$\bf E$のアンビエント計量の明示的形は何か？
• RQ2 $\bf E$のアンビエント計量は例外的群$Σ_2^*$におけるホロノミーを示すか？
• RQ3 アンビエント計量の構成は、正規射影的ホロノミーが$Σ_2^*$に等しい射影構造を生じるか？
• RQ4 左不変な共形構造のアンビエント計量について、どのような新しい幾何的知見が得られるか？
• RQ5 $\bf E$は、$(2,3,5)$分布の広範な分類およびそれに関連する幾何学的構造にどのように位置づけられるか？

主な発見

• 欠落していた分布$\bf E$の実形式に対するアンビエント計量$\widetilde{g}_{\bf E}$が閉形式で明示的に構成された。
• $\widetilde{g}_{\bf E}$のホロノミー群は、正確に例外的非コンパクト実形式$\mathrm{G}_2^*$に等しい。
• これは、正規射影的ホロノミーが$\mathrm{G}_2^*$に等しい射影構造の最初の既知の例を提供する。
• この構成により、カルタンの分類において長年見過ごされていた$(2,3,5)$分布の存在が確認され、長年の欠落が解消された。
• 特に例外的ホロノミーに関連して、左不変な共形構造のアンビエント計量について新たな構造的観察が得られた。