[論文レビュー] A Mixed DG method and an HDG method for incompressible magnetohydrodynamics

Weifeng Qiu, Ke Shi|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2種類の境界条件を伴う定常非圧縮性磁力学系（MHD）に対して、混合不連続ガラーキン（DG）法とハイブリッド化DG（HDG）法を提案する。不連続多項式に対する新しい離散ソボレフ埋め込み推定式を用いて、最小限の正則性仮定のもとで、すべての変数（速度、磁場、圧力、ラグランジュ乗数）に対して最適な事前誤差推定を確立した。これは、非線形MHD系にDG法を適用した初めての解析である。

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze a mixed DG method and an HDG method for the stationary Magnetohydrodynamics (MHD) equations with two types of boundary (or constraint) conditions. The mixed DG method is based a recent work proposed by Houston et. al. for the linearized MHD. With two novel discrete Sobolev embedding type estimates for the discontinuous polynomials, we provide a priori error estimates for the method on the nonlinear MHD equations. In the smooth case, we have optimal convergence rate for the velocity, magnetic field and pressure in the energy norm, the Lagrange multiplier only has suboptimal convergence order. With the minimal regularity assumption on the exact solution, the approximation is optimal for all unknowns. To the best of our knowledge, this is the first a priori error estimates of DG methods for nonlinear MHD equations. In addition, we also propose and analyze the first divergence-free HDG method for the problem with several unique features comparing with the mixed DG method.

研究の動機と目的

• 定常非圧縮性MHD系に、2種類の異なる境界条件または制約条件を適用する混合DG法の開発。
• 流体と磁場の非線形結合という課題に対処しつつ、非線形MHD方程式に対する事前誤差推定をDG法を用いて確立すること。
• 正確な解の正則性仮定を最小限に抑えた状態で、すべての未知数（速度、圧力、磁場、ラグランジュ乗数）に対して最適収束率を達成すること。
• 非圧縮性MHDに適用可能な最初の発散自由HDG法を提案・解析し、局所保存性と安定性の向上を実現すること。
• 既存の線形化MHD DG解析を、磁場の離散$L^3$-ノルムを制御するための新しい離散ソボレフ型推定式を用いて、完全な非線形系へと拡張すること。

提案手法

• 線形化MHDに関する先行研究における内部ペナルティDG（IP-DG）スキームを、非線形定常MHD系へと適応する。
• 非線形項を扱うために不可欠な磁場の$L^3$-ノルムを制御するため、不連続多項式近似に対する2つの新しい離散ソボレフ埋め込み型推定式を導入する。
• 速度$\mathbf{u}$、圧力$p$、磁場$\mathbf{b}$、および発散自由制約のためのラグランジュ乗数$r$という混合変数を用いた混合有限要素式を採用する。
• HDG法では、要素内自由度を消去するハイブリダイゼーションを適用し、メッシュのスケルトン上でのみグローバルに結合されたシステムを導出することで、計算効率を向上させる。
• 磁場近似にエッジ、面、体積自由度を用い、誤差解析を容易にするために、全体的に連続的であるかのような場$\tilde{\mathbf{b}}_h$を再構成する。
• 形状正則性仮定とコーシー＝シュワルツ不等式を用いて、離散磁場とその再構成版との差を評価し、安定性および収束解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の正則性仮定のもとで、非線形定常MHD系に対するDG法において、すべての未知数に対して最適収束率を達成できるか？
• RQ2 不連続多項式近似に対する離散ソボレフ埋め込み推定式をどのように構築すれば、非線形MHDにおける磁場の$L^3$-ノルムを制御できるか？
• RQ3 磁場およびラグランジュ乗数に対して2種類の異なる境界条件を伴う非線形MHDに対する混合DG法の収束特性はいかなるものか？
• RQ4 非圧縮性MHDに適用可能な発散自由HDG法をどのように定式化できるか。また、混合DG法と比較して、安定性および収束性においてどのような差異が生じるか？
• RQ5 DGおよびHDGスキームにおける速度および磁場の局所保存性が、MHDシミュレーションの精度および物理的一致性に与える影響は何か？

主な発見

• 混合DG法は、正確な解の正則性仮定を最小限に抑えた状態で、速度、圧力、磁場のエネルギーノルムにおいて最適収束率を達成する。
• 磁場の発散制約に対応するラグランジュ乗数は、最適でない収束次数を示すが、安定かつ精度の高い結果を示す。
• 不連続多項式に対する提案された離散ソボレフ埋め込み推定式により、磁場の$L^3$-ノルムが制御可能となり、非線形結合項の解析に不可欠である。
• 非圧縮性MHDに適用可能な最初の発散自由HDG法が提案され、局所保存性を維持するとともに、混合DG法と競合可能な代替手法を提供する。
• 解析により、同じ正則性仮定のもとで、HDG法においてもすべての未知数に対して最適収束が確認された。収束率は混合DG法と同一である。
• 本研究は、非線形定常非圧縮性MHD方程式にDG法を適用した初めての事前誤差推定を提供し、文献における大きな空白を埋めた。