[論文レビュー] Convergence of a decoupled mixed FEM for the dynamic Ginzburg--Landau equations in nonsmooth domains with incompatible initial data

Buyang Li|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない、おそらく非凸かつ多連結な3次元領域および不適合な初期データを伴う時間依存Ginzburg–Landau方程式に対して、分離型混合有限要素法（FEM）を提案する。離散エネルギーが有界であることを保証する時間ステッピングスキームを導入し、新規の離散Sobolev埋め込みおよび$σ$-正則性推定を活用することで、正確な解に滑らかさの仮定を課さない条件下でも、有限要素解の無条件収束を証明する。これは、不規則な幾何構造においても成立する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a fully discrete mixed finite element method for solving the time-dependent Ginzburg--Landau equations, and prove the convergence of the finite element solutions in general curved polyhedra, possibly nonconvex and multi-connected, without assumptions on the regularity of the solution. Global existence and uniqueness of weak solutions for the PDE problem are also obtained in the meantime. A decoupled time-stepping scheme is introduced, which guarantees that the discrete solution has bounded discrete energy, and the finite element spaces are chosen to be compatible with the nonlinear structure of the equations. Based on the boundedness of the discrete energy, we prove the convergence of the finite element solutions by utilizing a uniform $L^{3+δ}$ regularity of the discrete harmonic vector fields, establishing a discrete Sobolev embedding inequality for the Nédélec finite element space, and introducing a $\ell^2(W^{1,3+δ})$ estimate for fully discrete solutions of parabolic equations. The numerical example shows that the constructed mixed finite element solution converges to the true solution of the PDE problem in a nonsmooth and multi-connected domain, while the standard Galerkin finite element solution does not converge.

研究の動機と目的

• 一般の曲がった多面体領域における動的Ginzburg–Landau方程式に対して、最小限の正則性仮定のもとで完全離散混合FEMの収束を確立すること。
• 標準的なGalerkin FEMが収束しない可能性がある不適合な初期データおよび滑らかでない領域の課題に対処すること。
• 不規則な幾何構造においても安定性を保証する、有界な離散エネルギーを保つ時間ステッピングスキームの開発。
• 滑らかでない領域におけるPDE問題の弱解の全域的存在および一意性の証明。
• 放物型系に対するNédélec有限要素空間のための離散Sobolev埋め込み不等式の確立および$σ$-正則性推定の導出。

提案手法

• 非線形系における結合の問題を回避するため、有界な離散エネルギーを保証する分離型時間ステッピングスキームを導入する。
• ベクトルポテンシャルにはNédélec要素、秩序パラメータには適合有限要素を用いる混合有限要素法を採用し、非線形構造と整合性を保つ。
• 調和ベクトル場の解析および離散調和成分の均一な$L^{3+\delta}$正則性の確立に、離散Hodge分解を用いる。
• 不規則な領域における取り扱いを可能にするために、Nédélec有限要素空間に対する新規の離散Sobolev埋め込み不等式を導出する。
• 非線形項を制御するため、完全離散放物方程式の解に対して新しい$\ell^{2}(W^{1,3+\delta})$推定を構築する。
• 収束証明は、離散エネルギーおよび正則性ノルムにおける一様有界性に基づくコンパクトネスの議論とGronwall型推定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない、多連結な3次元領域における動的Ginzburg–Landau方程式に対して、完全離散混合FEMは収束可能か？
• RQ2 提案された分離型スキームは、有界な離散エネルギーを保ち、不適合な初期データ下でも安定性を確保できるか？
• RQ3 一般の曲がった多面体領域において、離散調和ベクトル場の均一な$L^{3+\delta}$正則性を確立できるか？
• RQ4 正確な解の滑らかさを仮定しないで収束を証明することは可能か？
• RQ5 不規則な領域におけるNédélec有限要素空間に対して、離散Sobolev埋め込み不等式を導出可能か？

主な発見

• 有限要素解は、非凸または多連結な一般の曲がった多面体領域においても、PDE問題の弱解に収束する。
• 正確な解の滑らかさを仮定しないで収束を達成し、正則性が制限された領域へ結果を拡張する。
• Nédélec有限要素空間に対する離散Sobolev埋め込み不等式が確立され、不規則な幾何構造における非線形項の制御が可能になった。
• 完全離散放物型解のための$σ$-正則性推定$\ell^{2}(W^{1,3+\delta})$が導出され、非線形項の有界性に用いられた。
• 数値実験により、標準的なGalerkin FEMが失敗する滑らかでない領域でも、混合FEMが収束することが確認された。
• 与えられたゲージ条件のもとで、滑らかでない領域におけるPDE問題の弱解の全域的存在および一意性が証明された。