[論文レビュー] A model category structure on the category of simplicial categories

Julia E. Bergner|ArXiv.org|Jun 24, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、小の単体的圏の圏におけるコフibrantly生成モデル圏構造を確立する。弱同値はDK同値（写像空間上で弱同値を誘導し、ホモトピー圏上で同値を誘導する）であり、ファイブレーションはレベルワイズなファイブレーションであり、ホモトピー上の挙動を満たす条件を満たす。コフibrationsは左上昇性質によって定義される。主な貢献は、Dwyer、Hirschhorn、Kanが以前に提案したモデル構造における誤りを是正する、正しい生成アセイリックコフibrationsの集合が得られたことである。

ABSTRACT

In this paper we put a cofibrantly generated model category structure on the category of small simplicial categories. The weak equivalences are a simplicial analogue of the notion of equivalence of categories.

研究の動機と目的

• Dwyer、Hirschhorn、Kanが以前に提案した単体的圏上の誤ったモデル圏構造を是正すること。この構造では、一部の生成アセイリックコフibrationsが実際に弱同値でないことが判明した。
• 小の単体的圏の圏に、DK同値を弱同値とする適切なコフibrantly生成モデル圏構造を定義すること。
• ホモトピー理論のホモトピー理論を研究するための基盤を提供し、他のモデル構造とのクイレン同値性を確立すること。
• トーデンとヴェッツォージが用いる高次圏論およびホモトピー的代数的幾何学と整合性を持つようにモデル構造を適合させること。
• 単体的圏のモデル圏と、他の既知のホモトピー理論のモデル構造との間で、うまく定義されたクイレン同値性を構成すること。

提案手法

• 弱同値を、すべての写像空間上で弱同値を誘導し、ホモトピー圏（写像空間のπ₀）上で同値を誘導するファンクターとして定義する。
• ファイブレーションを、写像空間上でレベルワイズにファイブレーションであり、ホモトピー同値に対してホモトピー上の挙動を満たす条件を満たすファンクターとして定義する。
• コフibrationsを、アセイリックファイブレーション（ファイブレーションかつ弱同値である写像）に対して左上昇性質を持つ射として定義する。
• 球面から写像空間への非自明なホモトピー類を消去するための超限合成プロセスを用いた分解系を構成する。
• 補題4.2を用い、写像空間を、与えられた次元まで弱収縮的であるような単体的集合に置き換えることで分解を実行し、結果として自由かつコフibrantな圏が得られることを保証する。
• 可算個の単体を持つ単体的集合は、球面からのホモトピー類が高々可算個であるという事実を活用し、超限的構成が適切に終了することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小の単体的圏の圏に、DK同値を弱同値とするコフibrantly生成モデル圏構造を構成できるか？
• RQ2 モデル構造が公理（特に上昇性質）を満たすために必要な正しい生成アセイリックコフibrationsの集合は何か？
• RQ3 Dwyer、Hirschhorn、Kanが以前に提案したモデル構造における誤り（一部のアセイリックコフibrationsが弱同値でない）をどのように是正できるか？
• RQ4 得られたモデル圏は、他の既知のホモトピー理論のモデル構造とクイレン同値か？
• RQ5 単体的集合を位相空間に置き換えることで、トポロジカル圏に対してもこの構成を適応できるか？

主な発見

• 小の単体的圏の圏に、DK同値を弱同値とするコフibrantly生成モデル圏構造が存在する。
• 生成アセイリックコフibrationsが明示的に構成され、弱同値であることが確認されており、以前のモデル構造における誤りが是正された。
• ファイブレーションは、写像空間上でレベルワイズにファイブレーションであり、ホモトピー同値に対してホモトピー上の挙動を満たす条件を満たすことが特徴づけられた。
• コフibrationsは、アセイリックファイブレーションに対して左上昇性質を持つことによって特徴づけられ、モデル構造がクイレン公理を満たすことが保証された。
• この構成は、球面から写像空間へのすべての非自明なホモトピー類を消去する超限的プロセスを含み、自由な単体的圏が得られる。
• 得られたモデル構造は、著者の後続研究によって、他の3つの既知のホモトピー理論のモデル構造とクイレン同値であることが示された。