[論文レビュー] Model $\infty$-categories I: some pleasant properties of the $\infty$-category of simplicial spaces

Aaron Mazel-Gee|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、単体的空間の∞-圏における適切で、cofibrantly生成されたモデル構造を導入し、単体的集合におけるKan–Quillenモデル構造と類似させている。幾何的実現は、この設定において弱同値およびホモトピー下への引き戻しを保存することを確立しており、生成係数のcofibrationに関して右上昇性を用いた、∞-圏的基準によって弱同値およびホモトピー下への引き戻しを検出可能にする。

ABSTRACT

Both simplicial sets and simplicial spaces are used pervasively in homotopy theory as presentations of spaces, where in both cases we extract the "underlying space" by taking geometric realization. We have a good handle on the category of simplicial sets in this capacity; this is due to the existence of a suitable model structure thereon, which is particularly convenient to work with since it enjoys the technical properties of being *proper* and of being *cofibrantly generated*. This paper is devoted to showing that, if one is willing to work $\infty$-categorically, then one can manipulate simplicial spaces exactly as one manipulates simplicial sets. Precisely, this takes the form of a proper, cofibrantly generated model structure on the *$\infty$-category* of simplicial spaces, the definition of which we also introduce here.

研究の動機と目的

• 単体的空間の∞-圏を∞-圏的モデル理論を用いて研究するための枠組みを構築すること。
• 単体的空間の∞-圏におけるKan–Quillenモデル構造を、適切かつcofibrantly生成されたものとして定義すること。
• 幾何的実現後に弱同値となる写像を特定するための∞-圏的基準を提供すること。
• 幾何的実現によってホモトピー下への引き戻しが保存される条件を確立すること。
• ∞-圏的ツールと右上昇性を活用して、単体的空間におけるホモトピー理論の有用性を拡張すること。

提案手法

• 弱同値の部分圏における∞-圏の局所化のためのフレームワークとして、モデル∞-圏の概念を導入する。
• 境界包含およびホーン包含に対応する生成係数cofibration $I_{KQ}$ および 0-同値cofibration $J_{KQ}$ を用いて、単体的空間の∞-圏におけるKan–Quillenモデル構造を定義する。
• cofibrantly生成されたモデル∞-圏の理論を適用し、得られるモデル構造が適切かつcofibrantly生成であることを証明する。
• Ex∞関手およびファイブレーションの基準を用いて、∞-圏的設定におけるファイブレーションおよび弱同値を分析する。
• モデル∞-圏におけるホモトピー（余）極限の一般理論を適用し、図式とその幾何的実現を比較する。
• ∞-圏的右上昇性を用いて、生成係数cofibrationに関して右上昇性を満たすことで、弱同値およびホモトピー下への引き戻しを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的空間の写像が幾何的実現後に弱同値となる∞-圏的条件は何か？
• RQ2 単体的空間のホモトピー下への引き戻しが、幾何的実現後に依然としてホモトピー下への引き戻しのままであるのはどのような場合か？
• RQ3 単体的集合におけるKan–Quillenモデル構造は、類似する性質を持つ単体的空間の∞-圏に自然に拡張可能か？
• RQ4 ∞-圏的右上昇性は、単体的空間の∞-圏における弱同値およびファイブレーションを検出するためにどのように用いることができるか？
• RQ5 Ex∞関手は、単体的空間の∞-圏的モデル構造におけるファibrant対象および弱同値を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 単体的空間の∞-圏は、幾何的実現後に弱同値となる写像がちょうど弱同値であるような、適切でcofibrantly生成されたモデル構造を備えている。
• 単体的空間の写像が0-同値ファイブレーションであるための必要十分条件は、生成係数cofibrationの集合 $I_{KQ}$ に関して右上昇性を満たすことである。ここで $I_{KQ}$ は境界包含 $\partial\Delta^n \to \Delta^n$ に対応する。
• このモデル構造は右適切であるため、ファイブレーションを含む任意の引き戻しはホモトピー下への引き戻しであり、幾何的実現によっても保存される。
• 幾何的実現関手 $|{-}|: \mathrm{sS} \to \mathrm{S}$ は、このモデル構造に関して左Quillen関手であり、ホモトピー圏に同値を誘導する。
• モデル∞-圏の理論により、単体的空間内の図式のホモトピー（余）極限とその幾何的実現との間の体系的比較が可能になる。
• Ex∞関手は弱同値を保存するファibrant置換関手を提供し、モデル∞-圏におけるファibrant対象を特徴付けるのにも用いられる。