[論文レビュー] A model structure on the category of diffeological spaces

Tadayuki Haraguchi, Kazuhisa Shimakawa|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、滑らかな弱ホモトピー同値を弱同値とするように、微分可能空間の圏にクイレンモデル構造を確立し、それが位相空間の標準的モデル構造とクイレン同値であることを証明する。主な貢献は、微分可能空間が位相空間と同等のホモトピー理論を備えられることを示したことであるが、一部の空間—例えば無理数トーラス—は滑らかなホモトピー型が位相空間のそれと同型でないため、滑らかなホモトピー群と連続ホモトピー群が同型でないことがある。

ABSTRACT

We construct a model category structure on the category of diffeological spaces which is Quillen equivalent to the model structure on the category of topological spaces based on the notions of Serre fibrations and weak homotopy equivalences.

研究の動機と目的

• 微分可能空間のホモトピー理論を、クイレンモデル構造を構成することで発展させること。
• このモデル構造が、位相空間の標準的クイレンモデル構造とクイレン同値であることを示すこと。
• すべての微分可能空間が位相空間の滑らかなホモトピー型を持つかどうかを調査すること。
• 微分可能空間における滑らかホモトピー群と連続ホモトピー群の関係を明確にすること。
• 微分可能空間、数値的に生成された空間、および位相空間のモデル構造を比較すること。

提案手法

• n次立方体 (Iⁿ, ∂Iⁿ) から (X, x₀) への滑らかな写像のホモトピー類として、滑らかなホモトピー群 πₙ(X, x₀) を定義し、Jⁿ⁻¹ を用いた相対群を導入する。
• 包含写像 Lⁿ⁻¹ → Iⁿ に対して右上昇性質を満たす弱ファイブレーションを導入する。ここで Lⁿ⁻¹ = ∂Iⁿ⁻¹ × I ∪ Iⁿ⁻¹ × {0} である。
• 弱ファイブレーションに対して、限定的なホモトピー拡張性質および被覆ホモトピー拡張性質を証明し、標準的なホモトピー的道具を支える。
• コボルダント生成でないため、微分可能空間のモデル構造をクイレンの公理を直接検証することで構成する。
• ホイットニー近似定理に依拠して、自然な写像 X → DTX を通じて、微分可能空間のモデル圏と位相空間のモデル圏とのクイレン同値性を確立する。
• Diff, NG（数値的に生成された空間）、Top のモデル構造を比較し、T, D, ν を含む随伴の鎖を通じて、これらがすべてクイレン同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能空間の圏は、滑らかな弱ホモトピー同値を弱同値とするクイレンモデル構造を備えているか？
• RQ2 このモデル構造は、位相空間の標準的クイレンモデル構造とクイレン同値か？
• RQ3 滑らかなホモトピー群が連続ホモトピー群と異なる微分可能空間は存在するか？
• RQ4 微分可能空間の滑らかなホモトピー型が、ある位相空間のそれと一致することができるか？
• RQ5 微分可能空間、数値的に生成された空間、および位相空間のモデル構造どうしの関係はいかなるものか？

主な発見

• 滑らかな弱ホモトピー同値を弱同値とする、微分可能空間の圏におけるクイレンモデル構造が構成された。
• 微分可能空間のモデル構造は、位相空間の標準的クイレンモデル構造とクイレン同値である。
• 無理数トーラス Tθ は滑らかな基本群が ℤ² に同型であるが、その位相的実現では連続的基本群が自明であるため、位相空間の滑らかなホモトピー型を持たないことが示された。
• 自然な写像 Tθ → DTTθ は弱同値でないため、位相空間への滑らかなホモトピー同値性の失敗が確認された。
• Diff, NG（数値的に生成された空間）、Top のモデル構造はすべてクイレン同値であり、随伴 T:Diff ⇄ NG および D:Top ⇄ STop を通じたクイレン同値の鎖を形成する。
• コアリフレクション ν:Top → NG および包含写像 i:NG → Top はホモトピーを保存し、NG のモデル構造は有限生成であり、Top のそれとクイレン同値である。