[論文レビュー] A Monad for Probabilistic Point Processes

Swaraj Dash, Sam Staton|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Point processes and geometric inequalities被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率測度を表すGiryモノイド $G$ と多重集合（バッグ）を表すバッグモノイド $B$ の合成 $GB = G \circ B$ を用いて、確率的点過程を定式化するモノイドを導入する。この合成が分配則を満たすことでモノイドであることを証明し、点過程から期待度数への強度測度写像がモノイド準同型であることを示す。これにより、強度測度の構成的計算が可能となり、Waldの補題が特殊ケースとして得られる。

ABSTRACT

A point process on a space is a random bag of elements of that space. In this paper we explore programming with point processes in a monadic style. To this end we identify point processes on a space X with probability measures of bags of elements in X. We describe this view of point processes using the composition of the Giry and bag monads on the category of measurable spaces and functions and prove that this composition also forms a monad using a distributive law for monads. Finally, we define a morphism from a point process to its intensity measure, and show that this is a monad morphism. A special case of this monad morphism gives us Wald's Lemma, an identity used to calculate the expected value of the sum of a random number of random variables. Using our monad we define a range of point processes and point process operations and compositionally compute their corresponding intensity measures using the monad morphism.

研究の動機と目的

• 確率的点過程をモノイドを用いて圏論的かつ構成的枠組みでモデル化すること。
• 点過程を可測空間 $X$ 上の多重集合（バッグ）の確率測度 $G(B(X))$ として形式化すること。
• 点過程の強度測度がモノイド準同型であることを確立し、構成的推論を可能とすること。
• この枠組みが、モノイド準同型の性質からWaldの補題が特殊ケースとして得られることを示すこと。
• 圏論と実用的統計モデリング（特に確率的プログラミングおよび確率的データベース）を結びつけること。

提案手法

• 可測空間 $X$ 上で、点過程を $G(B(X))$、すなわちバッグモノイドにGiryモノイドを適用した対象として形式化する。
• モノイドの分配則の理論（Beckの理論）を用いて、$GB$ がモノイドであることを証明する。
• 強度測度を $GB \hookrightarrow MM \xrightarrow{\mu} M$ の合成写像として定義する。ここで $M$ はすべての測度のモノイドである。
• 関連する図式の可換性を検証することで、強度測度写像 $\mathbb{E}: GB \to M$ がモノイド準同型であることを示す。
• モノイド準同型の性質を用いて、関数型プログラミング風のdo記法を用いて強度測度を構成的に計算する。
• 自然性およびファンクター性を活用し、複合分布に対するWaldの補題のような恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点過程は圏論において、構成的構築を可能にするモノイドとして体系的にモデル化可能か？
• RQ2 点過程から強度測度への自然なモノイド準同型が存在し、モノイド構造を保存するか？
• RQ3 期待値の確率的和に関するWaldの補題は、モノイド準同型の性質の結果として導けるか？
• RQ4 合成された点過程の強度測度は、モノイド構造を用いてどのように構成的に計算できるか？
• RQ5 この圏論的枠組みは、構造化されたモデリングのための確率的論理プログラミングおよび確率的データベースに応用可能か？

主な発見

• 可測空間の圏上で、合成 $GB = G \circ B$ はモノイドをなす。これにより、確率的点過程の圏論的基盤が得られる。
• 強度測度写像 $\mathbb{E}: GB \to M$ はモノイド準同型であり、強度計算がモノイド的合成と可換であることを保証する。
• Waldの補題は、モノイド準同型の性質の特殊ケースとして回復され、$\mathbb{E}(\underline{N} \gg t. \underline{X}) = \mathbb{E}(\underline{N}) \gg t. \mathbb{E}(\underline{X})$ が成り立つ。
• 単位正方形上に強度 $\Lambda$ のポアソン点過程がある場合、強度測度は $\lambda W \mapsto \Lambda \cdot |W|$ として、モノイド準同型を用いて構成的に計算可能である。
• 本フレームワークは、do記法のような関数型プログラミング構文を用いて、複雑な点過程の構成的シミュレーションと解析を可能にする。
• 本結果は、手動による積分を避けて、圏論を活用した原理的かつ構成的な強度測度計算手法を提供する。