[論文レビュー] Iterated distributive laws

Eugenia Cheng|ArXiv.org|Oct 5, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ヤン＝バキスターエルバーディングを満たす反復的分布則を通じて、モノイドの古典的理論をn個のモノイドへと拡張し、一貫性のある方法でn個の代数的構造を合成するための枠組みを提供する。主な貢献は、i-細胞に沿った合成を記述するモノイド間の分布則が所定の整合性条件を満たすように構成された、n次元グローブラル集合上の自由な厳密nカテゴリー代数的構造の構成である。

ABSTRACT

We give a framework for combining $n$ monads on the same category via distributive laws satisfying Yang-Baxter equations, extending the classical result of Barr and Wells which combines two monads via one distributive law. We show that this corresponds to iterating $n$-times the process of taking the 2-category of monads in a 2-category, extending the result of Street characterising distributive laws. We show that this framework can be used to construct the free strict $n$-category monad on $n$-dimensional globular sets; we first construct for each $i$ a monad for composition along bounding $i$-cells, and then we show that the interchange laws define distributive laws between these monads, satisfying the necessary Yang-Baxter equations.

研究の動機と目的

• 古典的な2モノイドの分布則枠組みをn個のモノイドへ一般化すること。
• 反復的分布則を用いてn個の代数的構造を一貫性を持って組み合わせる方法を提供すること。
• 自由な厳密nカテゴリーモノイドがこの反復的分布則構成から生じることを示すこと。
• 得られる分布則がヤン＝バキスターエルバーディングを満たしており、整合性が保証されることを検証すること。
• nカテゴリ－におけるi-細胞に沿った合成のためのモノイドを用いた構成を示すこと。

提案手法

• 同じ圏上のn個のモノイド間の反復的分布則を定義し、古典的な2モノイドの場合を一般化する。
• モノイドの2カテゴリ－における形式的理論を用いて、これらの法則をモノイドの2カテゴリ－内の射として特徴付ける。
• 各iについて、nカテゴリ－におけるi次元細胞に沿った合成を処理するモノイドT_i^{(n)}を構成する。
• これらのモノイド間の交換則がヤン＝バキスターエルバーディングを満たす分布則を定義することを示す。
• 合成モノイドT_0^{(n)} ∘ T_1^{(n)} ∘ ⋯ ∘ T_{n-1}^{(n)}が自由な厳密nカテゴリーモノイドと同型であることを証明する。
• 自由なカテゴリーモノイドがカルテジアンであることを利用して、分布則構成に必要な引き戻し構造が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つを超えるモノイドを、結合則および単位則を保つ一貫性のある方法で組み合わせる分布則を拡張することは可能か？
• RQ2 反復的分布則が満たすべき条件は何か？ これにより合成されたモノイドが適切に定義される。
• RQ3 i-細胞の合成のためのモノイド間の分布則の系列を用いて、自由な厳密nカテゴリーモノイドをどのように構成できるか？
• RQ4 nカテゴリ－におけるi-細胞の合成のためのモノイド間の分布則は、ヤン＝バキスターエルバーディングを満たすか？
• RQ5 nカテゴリ－におけるグリッド型の合成（水平／垂直）を、分布則を通じて一貫性を持って関連付ける標準的な方法はあるか？

主な発見

• 反復的分布則枠組みにより、ヤン＝バキスターエルバーディングを満たす分布則の系列を通じてn個のモノイドを一貫性を持って組み合わせられる。
• n次元グローブラル集合上の自由な厳密nカテゴリーモノイドは、i-細胞に沿った合成を処理するn個のモノイドの合成として構成され、それらの間の分布則を含む。
• T_0^{(n)}とT_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)}の間の分布則は、ラインスターモノイドが自由な厳密nカテゴリーモノイドを構成するために用いたものと完全に一致する。
• この構成は、自由なカテゴリーモノイドがカルテジアンであることを利用しており、分布則に必要な引き戻し構造が保たれることを保証する。
• T_0^{(n)}T_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)}からT_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)}T_0^{(n)}への逆方向の分布則は存在しない。高さが異なる列を等高のグリッドに一意に写像することはできないためである。
• この枠組みは古典的結果を一般化する：バールとウェルズの2モノイド分布則およびストリートのモノイドの形式的理論をn項の場合へ拡張する。