[論文レビュー] A monotone scheme for G-equations with application to the explicit convergence rate of robust central limit theorem

Shuo Huang, Gechun Liang|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非線形期待値空間に現れる完全非線形PDE（G-方程式）を解くための単調な数値スキームを導入し、Berry-Esseen型の誤差境界を用いた明示的な収束速度を確立している。この手法により、Pengのロバスト中心極限定理に対する初めての明示的収束速度が得られ、粘性解理論と滑らか化技術を用いて、一般のモデル仮定のもとで先行研究を改善した。

ABSTRACT

We propose a monotone approximation scheme for a class of fully nonlinear PDEs called G-equations. Such equations arise often in the characterization of G-distributed random variables in a sublinear expectation space. The proposed scheme is constructed recursively based on a piecewise constant approximation of the viscosity solution to the G-equation. We establish the convergence of the scheme and determine the convergence rate with an explicit error bound, using the comparison principles for both the scheme and the equation together with a mollification procedure. The first application is obtaining the convergence rate of Peng's robust central limit theorem with an explicit bound of Berry-Esseen type. The second application is an approximation scheme with its convergence rate for the Black-Scholes-Barenblatt equation.

研究の動機と目的

• 非線形期待値空間における完全非線形G-方程式のための単調な数値スキームを開発すること。
• スキームとG-方程式の粘性解との間の定量的誤差境界を伴う明示的な収束速度を確立すること。
• このスキームを用いて、Pengのロバスト中心極限定理に対する最初の明示的収束速度（Berry-Esseen型の境界を含む）を導出すること。
• ブラック・ショールズ・バーレンブレット方程式の近似にこの手法を拡張し、収束速度の解析を行うこと。
• 粘性解の数値スキームと、非線形確率における中心極限定理の収束解析との間の深い解析的関係を明らかにすること。

提案手法

• G-方程式の粘性解の区分的定数近似を用いて、再帰的な単調スキームを構築する。
• スキームおよびPDEの両方に対して比較原理を適用し、誤差伝播を制御する。
• 解の正則化のための滑らか化手順を適用し、明示的な誤差境界を導出する。
• 粘性解のG-分布下での期待値表現を用いる：$ u(t,x) = \widetilde{\mathbb{E}}[\phi(x + \sqrt{t}\xi + t\zeta)] $。
• テイラー展開と非線形期待値の性質を用いて一貫性誤差の見積もりを行い、$ D^3\psi, D^4\psi $ を含む項をバウンディングする。
• 安定性と一貫性を組み合わせて、収束速度 $ O(\Delta^{\min\{\alpha/2, 1/6\}}) $ を証明し、明示的な定数を付与する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-方程式に対して、明示的な収束速度と誤差境界を有する単調な数値スキームを構築可能か？
• RQ2 一般のモデル仮定のもとで、Pengのロバスト中心極限定理の明示的収束速度は何か？
• RQ3 数値スキームの収束速度とロバスト中心極限定理における収束速度の関係は何か？
• RQ4 この手法をブラック・ショールズ・バーレンブレット方程式の近似に拡張可能か、収束速度の解析が可能か？
• RQ5 滑らか化と比較原理は、非線形設定における粘性解の明示的誤差境界の導出において果たす役割は何か？

主な発見

• 単調スキームは、粘性解に対して明示的誤差境界 $ O(\Delta^{\min\{\alpha/2, 1/6\}}) $ を有する収束を示した。
• 退化する場合、収束速度 $ O(n^{-\beta/6}) $ はKrylovの結果を改善し、$ \frac{\beta^2}{4+2\beta} \leq \frac{\beta}{6} $ を満たす。
• 非退化の場合（$ \underline{\sigma}^2 > 0 $）、収束速度 $ O(n^{-\max\{\alpha/2, 1/6\}}) $ はSongの $ O(n^{-\alpha/2}) $ を改善した。
• Pengのロバスト中心極限定理に対して、一般のモデル仮定のもとで初めての明示的Berry-Esseen型境界が得られた。
• 本手法により、粘性解の数値解析とロバスト中心極限定理の収束解析との間の新しい解析的関係が確立された。
• テイラー展開と非線形期待値の性質を用いて、一貫性誤差見積もり $ \mathcal{E}(\Delta,\psi) \leq C\Delta(|D^4\psi|_0 + |D^3\psi|_0 + |D^2\psi|_0) $ が確立された。