[論文レビュー] Sublinear Expectations and Martingales in discrete time

Samuel N. Cohen, Shaolin Ji+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、支配確率測度を仮定しない離散時間における非線形期待とマルティングルの理論を構築し、オプション停止やマルティングル収束といった古典的結果を非線形設定へと拡張する。有限状態空間における後向き確率差分方程式（BSDE）の存在および比較定理を確立し、ドライバー関数と極集合の同値性を通じて、部分線形期待と関連付ける。

ABSTRACT

We give a theory of sublinear expectations and martingales in discrete time. Without assuming the existence of a dominating probability measure, we derive the extensions of classical results on uniform integrability, optional stopping of martingales, and martingale convergence. We also give a theory of BSDEs in the context of sublinear expectations and a finite-state space, including general existence and comparison results.

研究の動機と目的

• 支配確率測度を仮定しない離散時間における部分線形期待への古典的マルティングル理論の一般化。
• 部分線形マルティングルのための一様可積分性および収束理論の構築。
• 有限状態・離散時間系における後向き確率差分方程式（BSDE）の存在および比較結果の確立。
• 同じ極集合を持つ任意の部分線形期待が、特定のドライバー関数を持つBSDEの解として表現可能であることを示すこと。
• 連続時間の$G$-期待の基礎を、離散時間近似を通じて提供すること。

提案手法

• 一貫性、単調性、劣加法性を用いて部分線形期待を公理化し、$ω$-一貫性のある非線形期待を定義する。
• 強さを高めるために、単調連続性（ファトウ性質）を持つ$ω$-SL期待を導入する。
• $L^p$-空間理論および一様可積分性を用いて、部分線形マルティングルの構築と収束結果の導出を行う。
• 適応過程と直交增量を用いて、有限状態空間における離散時間マルティングル表現定理を導出する。
• 条件付き非線形期待と$G$-ドライバーを用いて、BSDEのドライバー関数$F$を構築し、部分線形性および連続性を保証する。
• 数学的帰納法と非線形期待の正則性を用いて、BSDEの解が導出されたドライバー関数を用いた後向きダイナミクスを満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配確率測度を仮定しない部分線形期待において、オプション停止およびマルティングル収束をどのように拡張できるか。
• RQ2 離散時間における部分線形マルティングルの一様可積分性および収束を保証する条件は何か。
• RQ3 同じ極集合を持つ任意の部分線形期待は、有限状態系においてBSDEの解として表現可能か。
• RQ4 離散時間$G$-期待は、連続時間$G$-期待へどのように近似によって関連づけられるか。
• RQ5 与えられた部分線形期待を生成するBSDEにおけるドライバー関数の構造はどのようなものか。

主な発見

• 本稿では、部分線形マルティングルに対するドゥーブ分解を確立し、古典的結果を非線形設定へ拡張した。
• 最小限の仮定の下で、$ω$-SL期待の下でオプション停止およびマルティングル収束定理を証明し、準連続関数のバージョンを必要としない。
• 有限状態空間では、有限次元のマルティングル表現定理が成り立ち、BSDEの解の明示的構成が可能になる。
• 基準期待と同一の極集合を持つ任意の$ω$-SL期待は、特定のドライバー関数を持つBSDEの解として表現可能である。
• BSDEにおけるドライバー関数$F$は、部分線形的かつ正homogeneousであり、比較定理の条件を満たすことが示された。
• 本理論は、連続時間$G$-期待の離散時間的基礎を提供し、[9]と同様の極限において収束が期待される。