[論文レビュー] A monotonic method for solving nonlinear optimal control problems

Julien Salomon, Gabriel Turinici|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、状態に凹関数的依存性を示す非線形最適制御問題を解くための統一的単調アルゴリズムを提示し、コスト関数 functional の単調減少を保証する非線形発展方程式の解の存在を証明する。この手法は、量子制御および放物型制御分野における先行研究を一般化し、非凸設定下でも勾配法を上回る収束速度を示す、構成的で適切に定式化された手続きを提供する。

ABSTRACT

Initially introduced in the framework of quantum control, the so-called "monotonic algorithms" have demonstrated excellent numerical performance when dealing with bilinear optimal control problems. This paper presents a unified formulation that can be applied to more nonlinear settings compatible with the hypothesis detailed below. In this framework, we show that the well-posedness of the general algorithm is related to a nonlinear evolution equation. We prove the existence of the solution to this equation and give important properties of the optimal control functional. Finally we show how the algorithm works for selected models from the literature and compare it with the gradient algorithm.

研究の動機と目的

• 量子制御および放物型制御で用いられる異なる単調アルゴリズムを、一つの理論的枠組みに統合すること。
• 最適性条件から導かれる非線形発展方程式の解の存在を確立することで、単調アルゴリズムの適切な定式化を証明すること。
• 二項および二次的設定にとどまらず、一般の非線形制御（状態に凹関数的依存性を示す）へも単調法の適用範囲を拡張すること。
• 各反復における制御更新を計算する構成的手続きを提供し、コスト関数 functional の単調減少を保証すること。
• 代表的なモデルを用いた勾配法ベースのアルゴリズムとの数値的比較を通じて、本手法の効率性を示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは、$J(v^{k+1}) \leq J(v^k)$ を満たすように制御列$v^k$ を構築し、設計上コストの単調減少を保証する。
• アルゴリズムの適切な定式化は、最適性条件から導かれる非線形発展方程式の解法に依存する。
• コスト関数 functional が状態に関して凹関数的であるという仮定の下で、この発展方程式の解の存在が厳密に証明される。
• 変分的定式化を用い、Fréchet微分と随伴状態$Y$ を導入することで、制御増分$v'$ に関する非線形方程式が得られる。
• 制御更新$v^{k+1}$ を、方程式$\Delta(v', v; t, X, Y) = -\theta(v' - v)$ の解を介して$v^k$ から構成的に計算する手続きが提供される。
• 数値的近似は、構成的証明に基づき、$A(t,v)$ が任意の非線形関数であるが、凹関数的条件を満たす限り、モデルへの実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様な非線形最適制御問題にわたる単調アルゴリズムを統一的に扱う理論的枠組みを確立できるか？
• RQ2 $A(t,v)$ が$v$ に関して非線形で、$J$ が状態に関して凹関数的である場合、単調アルゴリズムはどのような条件下で適切に定式化されるか？
• RQ3 一般の非線形設定において、$J(v^{k+1}) \leq J(v^k)$ を満たす制御更新$v^{k+1}$ の存在が構成的に証明可能か？
• RQ4 非凸制御問題において、単調アルゴリズムは勾配法と比較して収束速度とロバスト性で優れているか？
• RQ5 提案された枠組み下での最適制御関数 functional の構造的性質は何か？

主な発見

• コスト関数 functional が状態に関して凹関数的依存性を示す広範な非線形最適制御問題クラスに対して、単調アルゴリズムが適切に定式化されることを証明した。
• 提示された仮定のもとで、制御更新を支配する非線形発展方程式の解が存在し、構成的数値手続きの実現が可能である。
• 線形探索や追加の計算コストを要せず、各反復でコスト関数 functional の単調減少を保証する。
• 数値結果から、単調アルゴリズムは勾配法よりも漸近的に高速に収束することが示された。特に非凸設定下で顕著な優位性を示した。
• 非線形ボーズ＝アインシュタイン凝縮体の制御例では、初期段階の進行は遅いものの、単調法は勾配法よりも高速に収束した。
• 本手法はベクトル値制御および高次非線形性（例：立方非線形性）に対しても効果的に対応でき、分子の方位制御例を通じてその有効性が示された。