[論文レビュー] A Morse Index Theorem and bifurcation for perturbed geodesics on Semi-Riemannian Manifolds

Monica Musso, Jacobo Pejsachowicz+1 more|ArXiv.org|Nov 10, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、不定計量を持つ半リーマン多様体上の摂動付き測地線に対して、有限なモーレス指数を、関連する指数形式の族のスペクトルフローに置き換えることで、一般化されたモーレス指数定理を確立する。この定理は、共役点が非孤立であっても定義可能な、共役点の総符号に等しいことを示している。結果として、一般化された指数が、関連するパスが誘導するラグランジュ・グラスマン多様体上のマスロフ指数と結びつくことが明らかになった。

ABSTRACT

Perturbed geodesics are trajectories of particles moving on a semi-Riemannian manifold in the presence of a potential. Our purpose here is to extend to perturbed geodesics on semi-Riemannian manifolds the well known Morse Index Theorem. When the metric is indefinite, the Morse index of the energy functional becomes infinite and hence, in order to obtain a meaningful statement, we substitute the Morse index by its relative form, given by the spectral flow of an associated family of index forms. We also introduce a new counting for conjugate points, which need not to be isolated in this context, and prove that the relative Morse index equals the total number of conjugate points. Finally we study the relation with the Maslov index of the flow induced on the Lagrangian Grassmannian.

研究の動機と目的

• 不定計量のため、標準的なモーレス指数が無限大になってしまう半リーマン多様体上の摂動付き測地線に対して、古典的モーレス指数定理を拡張すること。
• 不定計量の状況下で、モーレス指数の意味のある置き換えを、指数形式の族のスペクトルフローを用いて定義すること。
• 共役点が非孤立であっても適用可能な、新たな共役点数え上げ法を導入し、一般化された指数がその重複度を含めた総数に等しいことを証明すること。
• 一般化されたモーレス指数と、ラグランジュ・グラスマン多様体上に誘導されるパスのマスロフ指数との間の明確な関係を確立すること。
• 一般化された指数が、正則なp-測地線の小さな摂動に対して不変であり、トポロジカルに安定であることを示すこと。

提案手法

• 時間に依存するポテンシャルVの勾配とリーマン接続を含む2階常微分方程式の解として、摂動付き測地線を定義する。
• p-測地線に沿ったベクトル場に対するジャコビ方程式を導入し、両端点における解の消失によって共役点を特徴付ける。
• 有限なモーレス指数の代わりに、エネルギー汎関数の2次変分に関連する連続的変化する指数形式の族のスペクトルフローを導入する。
• 各点におけるジャコビ場の像の直交補空間への計量制限の符号を用いた、新たな共役点数え上げスキームを定義する。
• フレームに基づく交差形式の計算を用いて、マスロフ指数における正則な交差と正則な共役瞬間との対応関係を確立する。
• スペクトルフロー（一般化されたモーレス指数）と交差形式の符号の和が等しいことを証明し、それが総共役点符号に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定計量を持つ半リーマン多様体上の摂動付き測地線に対して、標準的モーレス指数が無限大である場合に、古典的モーレス指数定理をどのように一般化できるか。
• RQ2 不定計量と非孤立な共役点が存在する状況下で、モーレス指数の代わりに適切な位相的不変量を定義できるか。
• RQ3 共役点が非孤立であっても、一般化された指数を、共役点に関連する二次形式の符号の和として表現できるか。
• RQ4 指数形式のスペクトルフローと、ラグランジュ・グラスマン多様体上に誘導されるパスのマスロフ指数との関係は何か。
• RQ5 一般化された指数は、正則なp-測地線の小さな摂動に対して不変であり、かつ正則な場合に古典的共役指数と一致するか。

主な発見

• スペクトルフローとして定義された一般化されたモーレス指数は、有限であり、小さなp-測地線の摂動に対して不変である。
• スペクトルフローは、ジャコビ場の像の直交補空間への計量制限の符号の和として定義される共役点数え上げスキームの総符号に等しい。
• すべての共役瞬間が正則な場合、一般化された指数は古典的共役指数 $ i_{\text{con}}(\theta) $ と一致し、既知の結果と整合性が取れている。
• スペクトルフローは、ラグランジュ・グラスマン多様体上に誘導されるパス $ \theta_t = \tilde{\theta}_t(l) $ のマスロフ指数に等しく、深い幾何的関係を示している。
• 正則な共役瞬間における交差形式は、二次形式 $ -\big\bra Jv, v\big\brac $ に対応し、その符号はジャコビ場の像の直交補空間上の計量形式の符号と一致する。
• 演算子 $ \tilde{\theta}_t $ の核と、$ t $ におけるジャコビ場の微分の像との間の同型写像は符号を保存するため、一般化された指数を共役点符号の和と同一視できる。