[論文レビュー] A multilevel adaptive sparse grid stochastic collocation approach to the non-smooth forward propagation of uncertainty in discretized problems

Robert L. Gates, Maximilian Bittens|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、計算力学における非滑らかな確率的偏微分方程式を効率的に解くために、マルチレベル適応スパースグリッドコロケーション（MLASGC）法を提案する。適応スパースグリッド確率的コロケーションと空間離散化の階層を組み合わせることで、MLASGCは収束率 ε ∼ t⁻⁰·⁹⁵ を達成し、単一レベルの ALSGC（ε ∼ t⁻⁰·⁶⁵）および MLMC（ε ≲ t⁻⁰·⁵）を著しく上回る性能を示す。

ABSTRACT

This work proposes a scheme for significantly reducing the computational complexity of discretized problems involving the non-smooth forward propagation of uncertainty by combining the adaptive hierarchical sparse grid stochastic collocation method (ALSGC) with a hierarchy of successively finer spatial discretizations (e.g. finite elements) of the underlying deterministic problem. To achieve this, we build strongly upon ideas from the Multilevel Monte Carlo method (MLMC), which represents a well-established technique for the reduction of computational complexity in problems affected by both deterministic and stochastic error contributions. The resulting approach is termed the Multilevel Adaptive Sparse Grid Collocation (MLASGC) method. Preliminary results for a low-dimensional, non-smooth parametric ODE problem are promising: the proposed MLASGC method exhibits an error/cost-relation of $\\varepsilon \\sim t^{-0.95}$ and therefore significantly outperforms the single-level ALSGC ($\\varepsilon \\sim t^{-0.65}$) and MLMC methods ($\\varepsilon \\lesssim t^{-0.5}$).

研究の動機と目的

• 計算力学における非滑らかでパrametricな問題に起因する前方不確実性伝播の高い計算コストを低減すること。
• 解が確率的パrameterドメインで滑らかでない場合に、古典的確率的コロケーション法およびモンテカルロ法の限界を克服すること。
• 適応スパースグリッドコロケーションとマルチレベル空間離散化を組み合わせることで、計算複雑度を低減すること。
• マルチレベルモンテカルロ（MLMC）の原則を活用し、階層的な空間グリッド上で決定論的誤差と確率的誤差のバランスをとること。
• 既存の決定論的ソルバと互換性があり、非侵襲的かつ並列化可能なフレームワークを整備し、工学的応用に適合させること。

提案手法

• 非滑らかな解行動を扱えるよう、階層的基底関数と局所誤差推定値を用いて確率的空間におけるスパースグリッドを適応的に細分化する。
• 複数の忠実度レベルを表す、逐次的に細かい有限要素離散化の階層を構築し、元の決定論的問題を表現する。
• 各空間離散化レベルで適応的階層的スパースグリッドコロケーション（ALSGC）法を適用し、確率的補間を計算する。
• 全体の細分化許容誤差を線形的に各レベルに分配することで、細かいグリッドでのコストを低減しつつ精度を維持する。
• マルチレベルモンテカルロ（MLMC）にインspiredされたマルチレベル補正戦略を採用し、レベル間の差分を計算することで全体の分散を低減する。
• 時間積分器の全局的切り捨て誤差（Δt_R）に比例するように細分化許容誤差を設定することで、離散化誤差と補間誤差のバランスを取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非滑らかな確率的前方問題の計算複雑度は、適応スパースグリッドを用いたマルチレベルアプローチによって著しく低減可能か？
• RQ2 提案された MLASGC 法の誤差減衰率は、非滑らかな問題において単一レベルの ALSGC や MLMC と比較してどのように異なるか？
• RQ3 マルチレベル空間離散化の各レベルに細分化許容誤差を線形に分配することは、均等分配よりも優れた性能をもたらすか？
• RQ4 この手法の非侵襲的性質を活かして、効率的な並列化および既存の有限要素フレームワークへの統合が可能か？
• RQ5 中程度の確率的次元と確率空間における非滑らかな解行動を示す問題に対しても、MLASGC 法は適用可能か？

主な発見

• MLASGC 法は誤差/コスト収束率 ε ∼ t⁻⁰·⁹⁵ を達成し、単一レベルの ALSGC（ε ∼ t⁻⁰·⁶⁵）と比較して著しく高い効率性を示す。
• MLASGC 法は標準的なマルチレベルモンテカルロ（MLMC）法を上回り、収束率が ε ≲ t⁻⁰·⁵ と遅いことが確認された。
• マルチレベル補間関数に細分化許容誤差を線形に分配することで、均等分配よりも優れた性能が得られ、細かいレベルでのコロケーション点数を削減できる。
• 確率的空間における適応的細分化とマルチレベル空間離散化を組み合わせることで、滑らかでない場合に生じる収束率の低下を効果的に緩和する。
• 非侵襲的かつ既存の決定論的ソルバと互換性があるため、容易な実装と並列化が可能である。
• 有望な結果が得られたが、収束性に関する厳密な数学的解析が欠落しており、今後の理論的発展の余地が残されている。