[論文レビュー] An adaptive high-order piecewise polynomial based sparse grid collocation method with applications

Zhanjing Tao, Yan Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、高次元問題におけるネストされたコロケーション点を用いた、適応的で高次の区分的多項式に基づくスパースグリッドコロケーション法を提示する。任意の次数の不連続な区分的多項式空間に対する体系的フレームワークを導入し、局所的でグローバルでないスティンチルを採用することで、効率的な適応的グリッド・リファインメントと、O(d·DoF)の複雑さを持つ高速変換を実現し、関数補間、積分、不確実性定量化の応用において最適収束率を達成する。

ABSTRACT

This paper constructs adaptive sparse grid collocation method onto arbitrary order piecewise polynomial space. The sparse grid method is a popular technique for high dimensional problems, and the associated collocation method has been well studied in the literature. The contribution of this work is the introduction of a systematic framework for collocation onto high-order piecewise polynomial space that is allowed to be discontinuous. We consider both Lagrange and Hermite interpolation methods on nested collocation points. Our construction includes a wide range of function space, including those used in sparse grid continuous finite element method. Error estimates are provided, and the numerical results in function interpolation, integration and some benchmark problems in uncertainty quantification are used to compare different collocation schemes.

研究の動機と目的

• 任意の次数の不連続な区分的多項式空間に対する、高次の区分的多項式に基づくスパースグリッドコロケーションの体系的フレームワークの構築を目的とする。
• 局所的な構造や滑らかさの低下を示す解に対して、階層的残差を測定することで、高次元問題における適応的リファインメントを可能にする。
• 高次補間を実現するための局所的でグローバルでないスティンチルの構築を目的とし、コンact性を維持するとともにグローバルな依存関係を回避する。
• 計算効率とマルチスケール解析（MRA）との互換性を確保するため、ネストされたコロケーション点の維持を目的とする。
• 理論的誤差推定を伴うベンチマーク問題を用いて、不確実性定量化、関数補間、積分の応用分野で手法の妥当性を検証する。

提案手法

• 本手法は1次元におけるネストされたコロケーション点を構築し、補間型マルチスケール解析（MRA）を用いて関連するマルチウェーブレット基底を導出する。
• 1次元フレームワークを高次元に拡張するためにスモリヤクの構成を適用し、グリッド構造におけるスパarsityを達成する。
• ネストされたグリッド上に局所的な高次ラグランジュおよびヘルミート補間を適用し、ステンシルを現在のセルを超えて拡大することなく、高次精度を達成する。
• 階層的残差に基づく適応的リファインメント戦略を実装し、局所誤差指標に応じて動的にグリッド解像度を調整する。
• 点値と展開係数の間の高速変換を導入し、計算量がO(d·DoF)に比例するようにすることで、計算コストを著しく削減する。
• 連続的および不連続的な区分的多項式空間の両方をサポートし、スパースグリッド有限要素法で用いられるものも含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的ステンシルを有する任意の次数の区分的多項式空間に対して、体系的かつ適応的なスパースグリッドコロケーション法を構築可能か？
• RQ2 提案手法は、高次元関数近似、積分、不確実性定量化の分野で、どのように最適収束率を達成するか？
• RQ3 ネストされ、グローバルでないステンシルを用いることで、高次コロケーションスキームの安定性と精度にどのような影響を与えるか？
• RQ4 階層的残差に基づく適応的リファインメントは、局所的特徴や滑らかさの低い問題において、どのように計算効率を向上させるか？
• RQ5 提案フレームワークにおける点値と係数の間の高速変換の計算複雑度はどの程度か？

主な発見

• L^pおよびH^1ノルムにおいて最適収束率を達成し、W^{q+1,M,p}ソボレフ空間に属する関数に対して、誤差境界がO(2^{-(N-d+2)(q+1)})に比例する。
• H^1ノルムの誤差推定は、d^{3/2} · C^d · (2+2^{q+2})^d · 2^{d-1} · (1+2^{-(q+1)})^d · 2^{-q(N-d+1)} · |f|_{W^{q+1,M,2}(Ω)}で抑えられる。
• 点値と係数の間の高速変換はO(d·DoF)の演算で実行され、ナイーブな実装に比べて計算コストを顕著に低減する。
• ネストされたグリッド上にラグランジュおよびヘルミート補間を適用でき、コンパクトで局所的なステンシルを維持しながら高次精度を実現する。
• 数値実験により、標準的なコロケーションスキームに比べ、関数補間、積分、ベンチマーク不確実性定量化問題において優れた性能を示す。
• 本フレームワークは、スパースグリッドFEMで用いられる連続的有限要素空間を自然に含みつつ、より高い柔軟性を実現するための不連続多項式近似も可能にする。