[論文レビュー] A Narrow-stencil finite difference method for approximating viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations with applications to Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Xiaobing Feng, Thomas Lewis|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全非線形2階楕円型PDE（特にハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン(HJB)方程式を含む）の粘性解を近似する、新規の狭いスティンシル有限差分法を提案する。数値的モーメント（2つの中央ヘッセ近似の差として定義される）を組み込むことで、低正則性解の安定化が図られ、単調性を仮定しないまま、適切に定義された解の存在、ℓ²およびℓ∞ノルムにおける安定性、および離散比較原理に基づく収束性が保証される。

ABSTRACT

This paper presents a new narrow-stencil finite difference method for approximating the viscosity solution of second order fully nonlinear elliptic partial differential equations including Hamilton-Jacobi-Bellman equations. The proposed finite difference method naturally extends the Lax-Friedrichs method for first order problems to second order problems by introducing a key stabilization and guiding term called a "numerical moment". The numerical moment uses the difference of two (central) Hessian approximations to resolve the potential low-regularity of viscosity solutions. It is proved that the proposed scheme is well posed (i.e, it has a unique solution) and stable in both the l-2 norm and the l-infinity norm. The highlight of the paper is to prove the convergence of the proposed scheme to the viscosity solution of the underlying fully nonlinear second order problem using a novel discrete comparison argument. This paper extends the one-dimensional analogous method of Feng, Kao, and Lewis to the higher-dimensional setting. Numerical tests are presented to gauge the performance of the proposed finite difference methods and to validate the convergence result of the paper.

研究の動機と目的

• 完全非線形2階楕円型PDE（特にHJB方程式を含む）に対して、次元d ≥ 2における収束性を示す狭いスティンシル有限差分法の開発。
• 広いスティンシルスキームの制限を克服し、単調性に依存せずに狭いスティンシル法を可能にする。
• 文献[14]における1次元のラックス＝フレイドリッヒス型法を高次元に拡張し、非対角ヘッセ項に起因する課題に対処する。
• バーレス＝スーニャイディスフレームワークを回避するため、非単調スキームに対しても収束性を保証する新規な離散比較論法の構築。
• 低正則性解を有する問題および退化・非対角優勢でない係数行列を有する問題に対して、数値的妥当性の検証。

提案手法

• 数値的モーメントを安定化および誘導項として導入し、2つの中央ヘッセ近似の差として定義する。
• 数値的モーメントは、高次の線形摂動として機能し、狭いスティンシル上でも低正則性解の解像度を向上させる。
• 局所的に複数の∇uおよびD²uの離散近似を用いることで、固定グリッド上での関数の挙動を捉え、狭いスティンシルの制限を補完する。
• スキームは、ℓ²およびℓ∞ノルムにおいて適切に定義され、安定性を保証するように構築される。
• 収束性の証明のため、バーレス＝スーニャイディスフレームワークにおける単調性の必要性を回避する新規な離散比較原理を考案する。
• 時間依存HJB方程式への適用を可能とするため、線形化法（method of lines）を用いて放物型問題へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非線形2階楕円型PDEの粘性解を、単調性を仮定しない狭いスティンシル有限差分スキームで収束させることは可能か？
• RQ2 高次元有限差分スキームにおいて、低正則性解を安定化させるための数値的モーメントは、どのように設計できるか？
• RQ3 非単調スキームに対しても、離散比較原理を一般化し、収束性を保証することは可能か？
• RQ4 非滑らかまたは退化した解を有する問題に対して、提案スキームの収束速度はどの程度か？
• RQ5 非対角優勢または退化した拡散行列を有するHJB方程式に対しても、この方法は適用可能か？

主な発見

• 提案スキームは、一意な解を有する適切に定義された解であり、ℓ²およびℓ∞ノルムにおいて安定である。
• 単調性を仮定しないまま、新規な離散比較論法に基づき、粘性解への収束性を達成する。
• 非対角優勢でない拡散行列を有する問題に対する数値的テストでは、h = 2.89e-02のとき、ほぼ2次収束（収束次数 ≈ 1.97）を示す。
• C²に属さないがW^{4/3,p}に属する解を有する退化楕円型問題に対して、収束次数 ≈ 0.40を達成し、解の低正則性と整合的である。
• 無限大ラプラシアンや非発散型線形PDEに対するテストでは、低正則性領域における数値的アーティファクトの安定化が明確に示された。
• 数値的モーメントは低正則性の指標として機能し、広範な完全非線形および線形非発散型PDEのクラスにおいて、頑健な性能を発揮する。