[論文レビュー] The Vanishing Moment Method for Fully Nonlinear Second Order Partial Differential Equations: Formulation, Theory, and Numerical Analysis

Xiaobing Feng, Michael Neilan|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 59被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、モンジュ＝アンぺール方程式、所定のガウス曲率方程式、無限大ラプラシアン方程式などの完全非線形2階偏微分方程式を解くための新しい数値的手法として、消えるモーメント法を導入する。元のPDEをεでパラメータ化された4階の擬線形方程式の族に正則化することにより、安定な有限要素法および混合有限要素法の離散化が可能となり、径対称性のもとで粘性解への収束が証明され、最適な誤差率で数値的に検証されている。

ABSTRACT

The vanishing moment method was introduced by the authors in [37] as a reliable methodology for computing viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations (PDEs), in particular, using Galerkin-type numerical methods such as finite element methods, spectral methods, and discontinuous Galerkin methods, a task which has not been practicable in the past. The crux of the vanishing moment method is the simple idea of approximating a fully nonlinear second order PDE by a family (parametrized by a small parameter $\vepsi$) of quasilinear higher order (in particular, fourth order) PDEs. The primary objectives of this book are to present a detailed convergent analysis for the method in the radial symmetric case and to carry out a comprehensive finite element numerical analysis for the vanishing moment equations (i.e., the regularized fourth order PDEs). Abstract methodological and convergence analysis frameworks of conforming finite element methods and mixed finite element methods are first developed for fully nonlinear second order PDEs in general settings. The abstract frameworks are then applied to three prototypical nonlinear equations, namely, the Monge-Ampère equation, the equation of prescribed Gauss curvature, and the infinity-Laplacian equation. Numerical experiments are also presented for each problem to validate the theoretical error estimate results and to gauge the efficiency of the proposed numerical methods and the vanishing moment methodology.

研究の動機と目的

• 完全非線形2階PDEの粘性解を計算するための信頼性の高い数値フレームワークを構築すること。これは、歴史的に標準的ガレルキン法では対応できなかった。
• 径対称の場合における消えるモーメント法の厳密な収束理論を確立し、正則化された解がε → 0のとき真の粘性解に近づくことを保証すること。
• 一般の完全非線形PDEに適用可能な、適合および混合有限要素法の抽象的収束枠組みを構築すること。代表的な方程式としてモンジュ＝アンぺール方程式や無限大ラプラシアン方程式を想定する。
• 3つのベンチマーク非線形PDEに対して、理論的誤差推定値を包括的な数値実験で検証すること。
• 大規模シミュレーションにおける実装上の課題、特に非線形ソルバーやプリコンディショニング戦略の検討

提案手法

• 完全非線形2階PDEを小さなパラメータεを導入することで正則化し、4階の擬線形PDEに変換する：εΔ²u + F(D²u, ∇u, u, x) = 0。
• Fに適切な構造的仮定をおくことで、正則化問題の解がε → 0のとき元のPDEの粘性解に収束することが示される。
• 正則化された4階方程式に対して、適合および混合有限要素法を定式化し、得られた非線形代数系に対してニュートン法による線形化を適用する。
• ニュートン法の初期推定値を効果的に生成するために、マルチスケールまたはホモトピー戦略を用いる。初期には大きなεから始め、徐々に小さなεへと精錬する。
• 収束解析は抽象的設定で行われ、適合および混合有限要素近似の両方について誤差推定値が導出される。
• 数値実験ではILUプリコンディショニングを施したニュートンソルバを用い、収束率を理論的予測と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 消えるモーメント法は、標準的ガレルキン法を用いて完全非線形2階PDEに対して安定的かつ収束する数値スキームを提供できるか？
• RQ2 径対称の場合における消えるモーメント法の収束速度は何か？また、粘性解の正則性にどのように依存するか？
• RQ3 適合および混合有限要素法は、正則化された4階PDEをどの程度正確に近似できるか？また、どのような誤差境界を確立できるか？
• RQ4 この方法は時間依存または放物型完全非線形PDEに拡張可能か？その一般化に伴う課題は何か？
• RQ5 この方法から生じる大規模非線形代数系を解くために、最も効果的な非線形ソルバーやプリコンディショニング戦略は何か？

主な発見

• 消えるモーメント法は、完全非線形2階PDEを4階の擬線形方程式に正則化し、標準的有限要素法の適用を可能にした。
• 径対称の場合において、正則化された解が元のPDEの粘性解に収束することが厳密に証明され、十分な正則性のもとで収束速度が確立された。
• モンジュ＝アンぺール方程式および所定のガウス曲率問題において、適合有限要素法ではO(h²)、混合有限要素法ではO(h)の最適収束速度が数値的に観測された。
• 3つの代表的方程式に対して、理論的予測と一致する収束率が得られ、数値的検証がなされた。
• 初期推定値を生成するマルチスケール戦略は、実際のニュートン法の収束安定性を著しく向上させた。
• 未解決の問題として、一般のFに対する収束理論の拡張、放物型完全非線形PDEへの手法の適用、退化または非楕円的系の取り扱いが挙げられる。