[論文レビュー] A nearly optimal algorithm for deciding connectivity queries in smooth and bounded real algebraic sets

Mohab Safey El Din, Éric Schost|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、滑らかで有界な実代数的集合におけるロードマップを計算する確率的アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、出力サイズと実行時間の両方が $(nD)^{n\log d}$ に対して多項式的であり、出力サイズに対しては準二次的実行時間となるほぼ最適な複雑度を達成する。手法は、再帰の深さを低減するためにベビーステップ/ジャイアントステップ法を用いた分割統治戦略を採用しており、滑らかさとコンパクト性の仮定のもとで、従来の手法に比べて効率が向上する。

ABSTRACT

A roadmap for a semi-algebraic set $S$ is a curve which has a non-empty and connected intersection with all connected components of $S$. Hence, this kind of object, introduced by Canny, can be used to answer connectivity queries (with applications, for instance, to motion planning) but has also become of central importance in effective real algebraic geometry, since it is used in higher-level algorithms. In this paper, we provide a probabilistic algorithm which computes roadmaps for smooth and bounded real algebraic sets. Its output size and running time are polynomial in $(nD)^{n\log(d)}$, where $D$ is the maximum of the degrees of the input polynomials, $d$ is the dimension of the set under consideration and $n$ is the number of variables. More precisely, the running time of the algorithm is essentially subquadratic in the output size. Even under our assumptions, it is the first roadmap algorithm with output size and running time polynomial in $(nD)^{n\log(d)}$.

研究の動機と目的

• 滑らかで有界な実代数的集合におけるロードマップ計算のためのより効率的なアルゴリズムの開発。
• 有利な幾何的仮定のもとで、従来の手法に比べて実行時間と出力サイズを短縮すること。
• 特に変数の数 $n$、次数 $D$、次元 $d$ に依存する複雑度がほぼ最適になるようにすること。
• 出力サイズに対して準二次的である明示的な複雑度境界を持つ確率的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは各再帰ステップで次元を半分に減らす分割統治戦略を採用し、再帰の深さを $O(\log n)$ に抑える。
• 再帰の深さと各ステップの計算コストのトレードオフを最適化するために、ベビーステップ/ジャイアントステップ法を用いる。
• ラグランジュ乗数法とパラメータ表示を用いて、再帰中に臨界点を計算し、代数的構造を維持する。
• 有限個の点（特異点や基本点を含む）を表現するために、次元ゼロのパラメータ表示に依存する。
• 次数の上限と対数因子を制御することで、リフトと和集合の操作による再帰的ロードマップ構築を実行する。
• アルゴリズムは確率的であり、入力代数的集合の滑らかさと有界性を仮定することで、正しさと効率性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで有界な実代数的集合に対するロードマップアルゴリズムは、出力サイズに対して準二次的実行時間に達成可能か？
• RQ2 再帰の深さを $O(\sqrt{n})$ 未満に抑えることができ、かつ多項式的複雑度を維持できるか？
• RQ3 $n$、$D$、$d$ に依存する複雑度を $(nD)^{n\log d}$ に改善でき、連結成分の既知の上界と一致するか？
• RQ4 指数部の定数は、従来の決定的アルゴリズムと比較してどのように異なるか？
• RQ5 幾何的仮定のもとで、確率的アプローチが決定的手法を上回る実行時間で正しく動作できるか？

主な発見

• 滑らかで有界な実代数的集合（次元 $d$）のロードマップは、$(nD)^{n\log d}$ に対して多項式的時間で計算可能である。
• 実行時間は出力サイズに対して準二次的であり、出力依存性においてほぼ最適である。
• 出力次数も $(nD)^{n\log d}$ に対して多項式的であり、指数部に明示的な定数が含まれる。
• 再帰の深さは $O(\log n)$ に達成され、従来の $O(\sqrt{n})$ または $O(n)$ の深さに比べ顕著に向上している。
• 複雑度は明示的な対数因子を含んでおり、精度とスケーラビリティの観点で、従来の結果を改善している。
• バスクとロイの最近の決定的アルゴリズムと比較して、滑らかで有界な入力に対して、この手法は確率的であるもののより優れた実行時間を達成する。