[論文レビュー] A necessary condition for Chow semistability of polarized toric manifolds

Hajime Ono|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、整数点の和が多面体 $\Delta$ の重心に比例することを示すことにより、極小化されたトーリック多様体のチャウ半安定性の必要条件を確立する。これにより、エーリヒャート多項式と多面体上の積分から導かれる特定のベクトルの消滅を通じて、漸近的チャウ半安定性に対する新たな障害が得られる。

ABSTRACT

Let Δ\subset \mathbb{R}^n be an n-dimensional Delzant polytope. It is well-known that there exist the n-dimensional compact toric manifold X_Δand the very ample (\mathbb{C}^ imes)^n-equivariant line bundle L_Δon X_Δassociated with Δ. In the present paper, we show that if (X_Δ,L_Δ^i) is Chow semistable then the sum of integer points in iΔis the constant multiple of the barycenter of Δ. Using this result we get a necessary condition for the polarized toric manifold (X_Δ,L_Δ) being asymptotically Chow semistable. Moreover we can generalize the result of Futaki, Sano and the author to the case when X_Δis not necessarily Fano.

研究の動機と目的

• デルザント多面体の幾何学を用いて、極小化されたトーリック多様体のチャウ半安定性の必要条件を同定すること。
• Fanoの場合を越えて、一般の極小化されたトーリック多様体に対する漸近的チャウ半安定性に関する先行結果を拡張すること。
• エーリヒャート理論と多面体積分に基づく、漸近的チャウ半安定性のための計算的障害を提供すること。
• 重心条件の不成立が、線分束の十分大きなテンソル巾に対してチャウ不安定性を引き起こすことを示すこと。

提案手法

• 次元 $n$ の整数的デルザント多面体 $\Delta$ と非常に豊富な線分束を備えたコン pact なトーリック多様体 $(X_\Delta, L_\Delta)$ の間の対応関係を用いる。
• エーリヒャート理論を適用：$t\Delta$ に含まれる整数点の個数を数えるエーリヒャート多項式 $E_\Delta(t)$ を定義し、それらの点の和を表すベクトル値エーリヒャート多項式 $\mathbf{s}_\Delta(t)$ を定義する。
• 主要な条件を導出：$(X_\Delta, L_\Delta^i)$ のチャウ半安定性のための条件として、$\mathrm{Vol}(\Delta)\,\mathbf{s}_\Delta(i) - i E_\Delta(i) \int_\Delta \mathbf{x} \, dv = \mathbf{0}$ を得る。
• 障害をベクトル $\mathcal{F}_{\Delta,j} = \mathrm{Vol}(\Delta)\,\mathbf{s}_{\Delta,j} - E_{\Delta,j-1} \int_\Delta \mathbf{x} \, dv$ $(j=1,\dots,n)$ の消滅として表現する。
• これらのベクトルとフタキの積分不変量との関係を用いて、障害をケーラー幾何学およびcscK計量と結びつける。
• 具体的な例（ヒルツェブルクの表面、7次元のニル＝パーファンホルツのトーリックFano多様体）において条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小化されたトーリック多様体 $(X_\Delta, L_\Delta^i)$ がチャウ半安定であるための必要条件は何か？
• RQ2 拡大されたデルザント多面体における整数点のエーリヒャート理論を用いて、漸近的チャウ半安定性の障害をどのように導出できるか？
• RQ3 重心条件が満たされない場合、$i$ が十分に大きいときチャウ不安定性が生じるか？
• RQ4 整数点の和から得られる障害は、フタキの積分不変量のような既知の不変量と関係づけられるか？
• RQ5 定理1.2の条件は、Fanoでないトーリック多様体においてもチャウ不安定性を検出するのに十分か？

主な発見

• $(X_\Delta, L_\Delta^i)$ がチャウ半安定であるならば、$i\Delta$ に含まれる整数点の和は $\Delta$ の重心に比例する。具体的には $\sum_{{\bf a} \in i\Delta \cap \mathbb{Z}^n} {\bf a} = \frac{i \cdot \#(i\Delta \cap \mathbb{Z}^n)}{\mathrm{Vol}(\Delta)} \int_\Delta {\bf x} \, dv$ が成り立つ。
• 漸近的チャウ半安定性のためには、すべての $j=1,\dots,n$ に対して、障害ベクトル $\mathcal{F}_{\Delta,j} = \mathrm{Vol}(\Delta)\,\mathbf{s}_{\Delta,j} - E_{\Delta,j-1} \int_\Delta \mathbf{x} \, dv$ が消える必要がある。
• $k \geq 2$ の $k$-番目のヒルツェブルク表面 $X_{\Delta_k}$ の場合、障害ベクトルは $\frac{k(k-1)}{24} \begin{pmatrix} k-1 \\ -2 \end{pmatrix} \neq \mathbf{0}$ であり、すべての $i \geq 1$ に対してチャウ不安定性が示される。
• 7次元のニル＝パーファンホルツのトーリックFano多様体では、$\int_{\Delta_{NP}} \mathbf{x} \, dv = \mathbf{0}$ だが、ヒルベルト級数の微分が非ゼロであるため、$\mathcal{F}_{\Delta_{NP},j} \neq \mathbf{0}$ となり、漸近的チャウ不安定性が示される。
• 障害 $\mathcal{F}_{\Delta,j}$ は、トーリック設定においてフタキの積分不変量 $\mathcal{F}_{\mathrm{Td}^{(p)}}$ の複素ベクトル空間の生成する部分空間と一致し、代数幾何学とケーラー幾何学を結びつける。
• ある $i_0$ に対して重心条件が不成立であるならば、ある $j$ に対して $\mathcal{F}_{\Delta,j} \neq \mathbf{0}$ であり、したがって十分大きな $i \geq i_1$ に対して $(X_\Delta, L_\Delta^i)$ はチャウ不安定である。