[論文レビュー] Examples of non-symmetric Kähler-Einstein toric Fano manifolds

Benjamin Nill, Andreas Paffenholz|arXiv (Cornell University)|May 13, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、次元7および8における非対称な反射的多面体の最初の既知の例を提示する。これらの多面体に付随するトーリックFano多様体は、Kähler-Einstein計量を有するが、長年の予想である「このような計量が存在するためには多面体の対称性が必要である」という仮説に反する。M. ØbroによるFano多面体の計算的分類とpolymakeによる検証を通じて、3つの例が同定された——次元7に2つ、次元8に1つ——そのうち双対多面体の重心がゼロであることが確認され、Wang-Zhuの基準を満たすが、対称性に欠ける。

ABSTRACT

In this note we report on examples of 7- and 8-dimensional toric Fano manifolds that are not symmetric and still admit a Kaehler-Einstein metric. This answers a question first posed by V.V. Batyrev and E. Selivanova. The examples were found in the classification of toric Fano manifolds up to dimension 8 obtained by M. Oebro. We also discuss related open questions and conjectures.

研究の動機と目的

• BatyrevとSelivanovaが提起した長年の疑問、すなわち、トーリックFano多様体がKähler-Einstein計量を有するためには、その反射的多面体の対称性が必要かどうかを解明すること。
• Tianの基準の妥当性と、alpha不変量がトーリック設定におけるKähler-Einstein計量の存在に果たす役割を調査すること。
• 具体的な計算例を用いて、高次元におけるConjecture 3.6（Chan/Leung）やConjecture 3.11（Ehrhart）の頑健性を検証すること。
• Kähler-Einstein条件において多面体の対称性が必須でないことを反例によって示すこと、特に次元≥7において。
• 重心がゼロであるが対称でない多面体の幾何学的・組合せ論的意味を、自己同型群や反標準線形系次数の観点から探求すること。

提案手法

• n ≤ 8 のn次元Fano多面体の完全な同型類のデータベースを生成するため、M. Øbroのアルゴリズム的分類を用いた。
• ソフトウェアシステム polymake を用いて、格子多面体計算の外部ライブラリを活用し、Øbroのデータベースにおける包括的計算探索を実施した。
• 双対反射的多面体Pが重心b_P = 0 であり、かつPが非対称であるようなFano多面体Qを同定した。
• 関連するトーリックFano多様体が、Wang-Zhuの基準（重心が原点に位置する）を満たすことを検証した。
• 各例の自己同型群を、頂点の和v_Qによって生成される固定空間F_Qを計算することで分析した。
• 構築された例に適用して、組合せ論的予想（例：Chan/LeungのConjecture 3.9）の妥当性を検証し、特にその反例を構成した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射的多面体の対称性は、非特異なトーリックFano多様体がKähler-Einstein計量を有するための必要条件か？
• RQ2 Kähler-EinsteinトーリックFano多様体のalpha不変量は、Tianの定理の仮定を満たすのか、特に非対称な場合に。
• RQ3 ChanとLeungのc_1^2とc_2類に関する不等式に関する予想は、高次元において確認可能または反証可能か？
• RQ4 Ehrhartの予想（単一の内部格子点と重心がゼロである格子多面体の最大体積に関するもの）は、非対称多面体に対しても成り立つか？
• RQ5 次元が高次元であるトーリックFano多様体で、Kähler-Einstein計量を有するが、その関連多面体が非対称であるものは存在するか？ もし存在するならば、それらの幾何学的・組合せ論的性質は何か？

主な発見

• 非対称な滑らかな反射的多面体で重心がゼロである例が3つ発見された：次元7のFano多面体Q₁（12頂点）、次元8の多面体Q₂（Q₁を底面とする二重錐体）、次元8のFano多面体Q₃（16頂点）。
• 関連するトーリックFano多様体X₁、X₂、X₃は、すべて双対反射的多面体の重心がゼロであるため、Wang-Zhuの基準を満たし、Kähler-Einstein計量を有する。
• 対称性が欠如しているにもかかわらず、各例の自己同型群は頂点の和v_Qによって生成される1次元の固定空間を持つことから、非自明な対称構造を示している。
• 例から、alpha不変量がTianの定理の条件を満たさないことが判明し、Tianの基準がこの文脈では十分でないことが示された。
• 5次元の反射的多面体（重心がゼロ）を用いて、Conjecture 3.9（Chan/Leung）の反例を構成した。この多面体では、特定の隣接する面のペアに対して、予想された点x_Fが存在しない。
• すべてのFano多面体の双対について、Ehrhart予想が次元8までで計算的に検証され、この範囲では有効であることが支持されたが、一般には未解決のままである。