[論文レビュー] A new application of Random Matrices: Ext(C*_{red}(F_2)) is not a group

Uffe Haagerup, Thorbjornsen, Steen|ArXiv.org|Dec 19, 2002

Random Matrices and Applications参考文献 22被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、ランダム行列に対する強い収束結果を確立している：独立なガウスランダム行列の任意の多項式の作用素ノルムは、自由セミサークル系に対応する多項式のノルムにほとんど確実に収束する。この結果を用いて、2生成元の自由群の縮小C*-代数のExt不変量が群でないことを証明し、長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

In the process of developing the theory of free probability and free entropy, Voiculescu introduced in 1991 a random matrix model for a free semicircular system. Since then, random matrices have played a key role in von Neumann algebra theory (cf. [V8], [V9]). The main result of this paper is the following extension of Voiculescu's random matrix result: Let X_1^(n),...,X_r^(n) be a system of r stochastically independent n by n Gaussian self-adjoint random matrices as in Voiculescu's random matrix paper [V4], and let (x_1,...,x_r) be a semi-circular system in a C*-probability space. Then for every polynomial p in r noncommuting variables lim_{n->oo}||p(X_1^(n),...,X_r^(n))|| = ||p(x_1,...,x_r)||, for almost all omega in the underlying probability space. We use the result to show that the Ext-invariant for the reduced C*-algebra of the free group on 2 generators is not a group but only a semi-group. This problem has been open since Anderson in 1978 found the first example of a C*-algebra A for which Ext(A) is not a group.

研究の動機と目的

• 自由セミサークル系のボイクレフスキーのランダム行列近似を作用素ノルム設定に拡張し、作用素ノルムのほとんど確実収束を証明すること。
• 2生成子の自由群の縮小C*-代数のExt不変量が群であるか、それとも半群にとどまるかという未解決問題を解明すること。
• 強いランダム行列収束を用いて、C*-代数理論における基本的問題、特にC*-代数の拡張の分類に応用すること。
• C*_{red}(F₂) のExt群が逆元について閉じていないことを示し、それが群でないことを示すこと。
• ランダム行列理論の自由確率論への新しい応用を提供し、フォン・ノイマン代数およびC*-代数理論における問題を解決すること。

提案手法

• 分散が 1/n である独立な n×n ガウス自己随伴ランダム行列 X_i^{(n)} を用い、自由セミサークル系の行列モデルを構築する。
• 作用素ノルムのほとんど確実収束を証明する：すべての非可換変数における多項式 p に対して lim_{n→∞} ||p(X_1^{(n)}(ω), ..., X_r^{(n)}(ω))|| = ||p(x_1, ..., x_r)|| がほとんどすべての ω で成り立つこと。
• ランダム行列の強力法則とスペクトルノルムの集中を活用し、ほとんど確実なノルム収束を確立する。
• ノルム収束結果を用いて、自由群 F₂ の左正則表現を構成し、ユニタリ表現 π_n を得る。このとき ||∑ c_j π_n(h_j)|| → ||∑ c_j λ(h_j)|| が成り立つ。
• ノルム収束を用いて、C*_{red}(F₂) のExt不変量を分析し、拡張の集合が逆元について閉じていないことを示す。
• 既知の自由ユニタリの和のノルムに関する結果および縮小C*-代数の構造を用い、Ext(C*_{red}(F₂)) が群でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立なガウスランダム行列の多項式の作用素ノルムは、対応する自由セミサークル多項式のノルムにほとんど確実に収束するか？
• RQ2 ランダム行列ノルムの強収束を用いて、C*-代数におけるExt不変量の代数的構造を分析できるか？
• RQ3 2生成子の自由群の縮小C*-代数のExt不変量は群であるか、それとも半群にとどまるか？
• RQ4 複素ガウスランダム行列のべきのノルムは、n が大きい極限でどのように振る舞うか？
• RQ5 C*-代数における自由ユニタリの和のノルムは、そのランダム行列近似のノルムとどのように関係するか？

主な発見

• r 個の独立な n×n ガウス自己随伴ランダム行列 X_i^{(n)} における任意の多項式の作用素ノルムは、自由セミサークル系における対応する多項式のノルムにほとんど確実に収束する：ほとんどすべての ω に対して lim_{n→∞} ||p(X_1^{(n)}(ω), ..., X_r^{(n)}(ω))|| = ||p(x_1, ..., x_r)|| が成り立つ。
• Ext(C*_{red}(F₂)) は群ではなく、半群にとどまる。これはアンドリュースの1978年の例以来未解決であった問題を解決する。
• F_r の左正則表現における ∑_{i=1}^r λ(g_i) ⊗ v_i のノルムは、ヒルベルト空間上のユニタリ v_i に対して常に 2√(r−1) に等しい。
• i.i.d. 成分で分散が 1/n の複素ガウスランダム行列 Y_n に対して、Y_n^p の作用素ノルムは n→∞ のとき、((p+1)^{p+1}/p^p)^{1/2} にほとんど確実に収束する。
• (Y_n^p)^* Y_n^p のスペクトルノルムはほとんど確実に (p+1)^{p+1}/p^p に収束し、この値を超える固有値の個数は十分に大きな n に対して最終的に消失する。
• F_r のユニタリ表現におけるノルム不等式の定数 C(r) は、すべての r ≥ 2 に対して C(r) = 2√(r−1) に等しく、ランダム行列近似およびラマヌジャングラフを用いて確認された。